数学2 多項式の割り算問題 28 解説

方針・初手

$F(x)$ を3次式 $(x+1)^2(x-1)$ で割ったときの余りを求めるため、余りは2次以下の整式として設定できる。ここで、余りを $ax^2+bx+c$ とおいて剰余の定理を用いようとすると、$(x-1)^2$ の条件がそのままでは使いにくく、未知数3つに対して条件式が足りなくなる。そこで、$F(x)$ を $(x+1)^2$ で割った余りが $2x+1$ であることに着目し、求める余りを $a(x+1)^2 + 2x + 1$ とおくことで未知数を1つに減らすのが定石である。

解法1

$F(x)$ を $(x+1)^2(x-1)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $R(x)$ とする。割る式が3次式であるから、余り $R(x)$ は2次以下の整式である。よって、

$$F(x) = (x+1)^2(x-1)Q(x) + R(x)$$

と表せる。ここで、$F(x)$ を $(x+1)^2$ で割った余りが $2x+1$ であり、$(x+1)^2(x-1)Q(x)$ の部分は $(x+1)^2$ で割り切れるため、余り $R(x)$ を $(x+1)^2$ で割ったときの余りが $2x+1$ となる。したがって、$a$ を定数として、余り $R(x)$ は次のように表せる。

$$R(x) = a(x+1)^2 + 2x + 1$$

これを元の式に代入して、

$$F(x) = (x+1)^2(x-1)Q(x) + a(x+1)^2 + 2x + 1 \cdots (1)$$

とする。一方、$F(x)$ を $(x-1)^2$ で割ったときの余りが $x+6$ であるから、商を $Q_1(x)$ とすると、

$$F(x) = (x-1)^2Q_1(x) + x + 6$$

剰余の定理より、この式に $x=1$ を代入して、

$$F(1) = 1 + 6 = 7$$

となる。 (1)の式に $x=1$ を代入すると、

$$F(1) = a(1+1)^2 + 2 \cdot 1 + 1 = 4a + 3$$

となるので、これらを等置して、

$$4a + 3 = 7$$

これを解くと、

$$4a = 4$$

$$a = 1$$

となる。したがって、求める余り $R(x)$ は、

$$R(x) = 1 \cdot (x+1)^2 + 2x + 1$$

$$R(x) = x^2 + 2x + 1 + 2x + 1$$

$$R(x) = x^2 + 4x + 2$$

となる。

解説

整式の割り算における非常に典型的な問題である。余りを $ax^2+bx+c$ とおいて剰余の定理を適用しようとしても、$x=1$ および $x=-1$ の代入だけでは式が2つしか得られず、未知数 $a, b, c$ を決定できない。そこで、「割る式の一部で割った余り」の情報を用いて、余り自体を $a(x+1)^2 + 2x + 1$ のように設定する処理が必須となる。この工夫により未知数を1つに減らし、残りの条件（剰余の定理）から定数を決定できる。