数学2 多項式の割り算問題 27 解説

方針・初手

整式 $P(x)$ が特定の式で割り切れるという条件から、立式して未定係数 $a, b, c$ を求める。与えられた条件から、$P(x)$ は $(x+1)^2$ と $x-3$ を因数にもつことがわかる。これらが互いに素であることに着目し、$P(x)$ が $(x+1)^2(x-3)$ で割り切れることを利用して恒等式を作る手法（解法1）が考えられる。また、整式が2乗で割り切れるための条件として、微分を利用した剰余の定理（解法2）を用いることもできる。

解法1

$P(x)$ は $(x+1)^2$ と $x-3$ で割り切れる。 $(x+1)^2$ と $x-3$ は互いに素であるから、$P(x)$ は $(x+1)^2(x-3)$ で割り切れる。

$P(x)$ は $x^4$ の係数が $1$ である4次式であるから、定数 $k$ を用いて商を $x-k$ とおくことができる。すなわち、

$$P(x) = (x+1)^2(x-3)(x-k)$$

と表せる。右辺を展開すると、

$$\begin{aligned} (x+1)^2(x-3)(x-k) &= (x^2+2x+1)(x-3)(x-k) \\ &= (x^3-x^2-5x-3)(x-k) \\ &= x^4 - (k+1)x^3 + (k-5)x^2 + (5k-3)x + 3k \end{aligned}$$

となる。これが元の $P(x) = x^4+x^3-ax^2-bx-c$ と恒等的に等しいので、各次数の係数を比較して、

$$\begin{cases} -(k+1) = 1 \\ k-5 = -a \\ 5k-3 = -b \\ 3k = -c \end{cases}$$

第1式より、

$$k = -2$$

これを他の式に代入すると、

$$\begin{aligned} -a &= -2 - 5 = -7 \\ -b &= 5(-2) - 3 = -13 \\ -c &= 3(-2) = -6 \end{aligned}$$

したがって、

$$a = 7, \quad b = 13, \quad c = 6$$

解法2

整式 $P(x)$ が $(x-\alpha)^2$ で割り切れるための必要十分条件は、$P(\alpha) = 0$ かつ $P'(\alpha) = 0$ である。

$P(x) = x^4+x^3-ax^2-bx-c$ を $x$ で微分すると、

$$P'(x) = 4x^3+3x^2-2ax-b$$

$P(x)$ は $(x+1)^2$ で割り切れるから、$P(-1) = 0$ かつ $P'(-1) = 0$ が成り立つ。

$$P(-1) = 1 - 1 - a + b - c = 0$$

$$-a + b - c = 0 \quad \cdots \text{①}$$

$$P'(-1) = -4 + 3 + 2a - b = 0$$

$$2a - b = 1 \quad \cdots \text{②}$$

また、$P(x)$ は $x-3$ で割り切れるから、$P(3) = 0$ が成り立つ。

$$P(3) = 81 + 27 - 9a - 3b - c = 0$$

$$9a + 3b + c = 108 \quad \cdots \text{③}$$

①より $c = -a + b$ となり、これを③に代入する。

$$\begin{aligned} 9a + 3b + (-a+b) &= 108 \\ 8a + 4b &= 108 \\ 2a + b &= 27 \quad \cdots \text{④} \end{aligned}$$

②と④の連立方程式を解く。両辺を足し合わせると、

$$4a = 28$$

よって、$a = 7$。これを②に代入して、

$$14 - b = 1$$

よって、$b = 13$。これらを $c = -a + b$ に代入して、

$$c = -7 + 13 = 6$$

したがって、

$$a = 7, \quad b = 13, \quad c = 6$$

解説

整式の割り算における典型的な未定係数決定問題である。解法1のように、割られる式と割る式の次数に着目し、商を文字でおいて恒等式に持ち込む手法は、条件が揃っている場合に計算量が少なくなり、ミスを防ぎやすい。特に $x^4$ の係数が $1$ であることがポイントである。一方、解法2で用いた「$P(x)$ が $(x-\alpha)^2$ で割り切れる $\iff P(\alpha)=0$ かつ $P'(\alpha)=0$」という性質は、数学IIの微分の範囲でよく用いられる強力な定理である。商の次数が高い場合や、整式の次数が $n$ などの一般文字で与えられている場合に非常に有効であるため、確実に押さえておきたい。