数学2 多項式の割り算問題 30 解説

方針・初手

割る式が2次式であるため、求める余りは1次以下の整式となる。余りを $ax+b$ とおき、商を $Q(x)$ とした恒等式を立てる。その後、割る式 $x^2-1$ が $(x-1)(x+1)$ と因数分解できることに着目し、式の値を代入して連立方程式を導くのが定石である。

解法1

求める余りは1次以下の整式であるから、$a, b$ を定数として $ax+b$ とおくことができる。商を $Q(x)$ とすると、次の恒等式が成り立つ。

$$x^{11} + 1 = (x^2 - 1)Q(x) + ax + b$$

$$x^{11} + 1 = (x - 1)(x + 1)Q(x) + ax + b$$

この式の両辺に $x = 1$ を代入すると、

$$1^{11} + 1 = a + b$$

$$a + b = 2 \quad \cdots \text{①}$$

また、両辺に $x = -1$ を代入すると、

$$(-1)^{11} + 1 = -a + b$$

$$-a + b = 0 \quad \cdots \text{②}$$

①、②の連立方程式を解く。 ①と②の辺々を足すと、

$$2b = 2$$

$$b = 1$$

これを①に代入して、

$$a + 1 = 2$$

$$a = 1$$

よって、求める余りは $x + 1$ である。

解法2

因数分解の公式 $X^n - 1 = (X - 1)(X^{n-1} + X^{n-2} + \cdots + 1)$ を利用して、割られる式を直接変形する。

$$\begin{aligned} x^{11} + 1 &= x \cdot x^{10} + 1 \\ &= x(x^{10} - 1) + x + 1 \\ &= x\{(x^2)^5 - 1^5\} + x + 1 \\ &= x(x^2 - 1)\{(x^2)^4 + (x^2)^3 + (x^2)^2 + x^2 + 1\} + x + 1 \\ &= (x^2 - 1)x(x^8 + x^6 + x^4 + x^2 + 1) + x + 1 \end{aligned}$$

ここで、$x(x^8 + x^6 + x^4 + x^2 + 1)$ は整式であるから、上式は $x^{11} + 1$ を $x^2 - 1$ で割ったときの商が $x(x^8 + x^6 + x^4 + x^2 + 1)$、余りが $x + 1$ であることを示している。余りの次数が割る式の次数（2次）より小さいので、これが求める余りである。

よって、求める余りは $x + 1$ である。

解説

2次式で割った余りを求める典型的な問題である。割る式 $x^2 - 1$ が $0$ になる $x$ の値（$x = 1, -1$）を見つけやすいため、解法1のように剰余の定理の考え方を拡張して連立方程式を立てる手法が最も確実である。解法2のような式変形によるアプローチは、次数がさらに大きい場合や、合同式（多項式の合同式）の概念を背景とする問題において強力な武器となる。