数学2 多項式の割り算問題 35 解説

方針・初手

まずは多項式として $(n-1)^3$ を $n^2-2n+2$ で割り、等式 $A = BQ + R$ の形を作る。その後、整数の割り算における余りの条件（余りは $0$ 以上かつ割る数より小さい）を満たしているかを確認し、満たしていない場合は商と余りを調整する。

解法1

$n$ の整式として、$(n-1)^3$ を $n^2-2n+2$ で割る。被除数は展開すると $(n-1)^3 = n^3 - 3n^2 + 3n - 1$ である。これを $n^2-2n+2$ で割ると、商が $n-1$、余りが $-n+1$ となるので、以下の等式が成り立つ。

$$n^3 - 3n^2 + 3n - 1 = (n^2 - 2n + 2)(n - 1) - n + 1$$

ここで、割る数である $n^2 - 2n + 2 = (n-1)^2 + 1$ は、$n \ge 2$ において正の整数である。整数の割り算における余りは、$0$ 以上かつ割る数より小さくなければならない。しかし、$n \ge 2$ において $-n+1 \le -1 < 0$ となるため、$-n+1$ は余りとして不適である。そこで、商を $1$ 減らすことで余りの部分を正に調整する。

$$\begin{aligned} (n-1)^3 &= (n^2 - 2n + 2)(n - 1) - n + 1 \\ &= (n^2 - 2n + 2)\{(n - 2) + 1\} - n + 1 \\ &= (n^2 - 2n + 2)(n - 2) + (n^2 - 2n + 2) - n + 1 \\ &= (n^2 - 2n + 2)(n - 2) + n^2 - 3n + 3 \end{aligned}$$

新しく余りとなる $n^2 - 3n + 3$ が、整数の割り算における余りの条件を満たすか確認する。まず、$n^2 - 3n + 3 = \left(n - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0$ であるから、$0$ 以上である。次に、割る数との大小を比較すると、

$$(n^2 - 2n + 2) - (n^2 - 3n + 3) = n - 1$$

$n \ge 2$ であるから $n - 1 \ge 1 > 0$ となり、$(n^2 - 3n + 3) < (n^2 - 2n + 2)$ が成り立つ。

以上より、求める商は $n - 2$、余りは $n^2 - 3n + 3$ である。

解法2

式の形に注目し、$n-1=m$ とおく。$n \ge 2$ より $m \ge 1$ である。割られる数は $m^3$ である。また、割る数は $n^2 - 2n + 2 = (n-1)^2 + 1 = m^2 + 1$ である。

$m^3$ を $m^2+1$ で割ると、以下の等式が成り立つ。

$$m^3 = (m^2+1)m - m$$

割る数 $m^2+1$ は正の整数である。ここで、$-m \le -1 < 0$ であるため、整数の余りとしては不適である。そこで、商の部分を $1$ だけ小さくして形を整える。

$$\begin{aligned} m^3 &= (m^2+1)\{(m-1)+1\} - m \\ &= (m^2+1)(m-1) + (m^2+1) - m \\ &= (m^2+1)(m-1) + m^2 - m + 1 \end{aligned}$$

余りの部分 $m^2 - m + 1$ について条件を確認する。

$$m^2 - m + 1 = \left(m - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0$$

また、割る数との差をとると、

$$(m^2+1) - (m^2 - m + 1) = m > 0$$

よって、$0 \le m^2 - m + 1 < m^2+1$ を満たすので、これが正しい余りである。

最後に $m = n-1$ を代入して、元の $n$ の式に戻す。商について、

$$m-1 = (n-1)-1 = n-2$$

余りについて、

$$\begin{aligned} m^2 - m + 1 &= (n-1)^2 - (n-1) + 1 \\ &= (n^2 - 2n + 1) - n + 1 + 1 \\ &= n^2 - 3n + 3 \end{aligned}$$

解説

多項式の割り算と整数の割り算の違いを問う問題である。多項式の割り算においては、余りの次数が割る式の次数より低くなれば計算終了となるが、整数の割り算においては「余りは $0$ 以上かつ割る数未満」という条件を満たさなければならない。そのまま多項式の割り算を行うと余りが負になってしまうため、商から $1$ を引いて不足分を補うような調整処理が必要となる。また、解法2のように文字を置き換えて式を簡略化すると、式の見通しが良くなり計算ミスを防ぐことができる。