数学2 多項式の割り算問題 34 解説

方針・初手

整式 $x^{101}-x$ を $2$ 次式 $x^2+x+1$ で割った余りを求める問題である。割る式が $x^2+x+1$ であることから、$x^3=1$ の虚数解 $\omega$ を利用するか、多項式の合同式（$x^3 \equiv 1$）を利用して次数を下げるのが定石である。

解法1

$x^2+x+1=0$ の解の1つを $\omega$ とおくと、$\omega$ は虚数であり、

$$\omega^2+\omega+1=0$$

を満たす。また、両辺に $\omega-1$ を掛けることで $\omega^3-1=0$ となるため、

$$\omega^3=1$$

が成り立つ。

整式 $x^{101}-x$ を $2$ 次式 $x^2+x+1$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $ax+b$ （$a, b$ は実数）とおくと、次のように表せる。

$$x^{101}-x = (x^2+x+1)Q(x) + ax+b$$

この恒等式の両辺に $x=\omega$ を代入すると、$\omega^2+\omega+1=0$ より、

$$\omega^{101}-\omega = a\omega+b$$

となる。

ここで、左辺の $\omega^{101}$ について、$101 = 3 \times 33 + 2$ であることと $\omega^3=1$ を用いて次数を下げる。

$$\omega^{101} = (\omega^3)^{33} \cdot \omega^2 = 1^{33} \cdot \omega^2 = \omega^2$$

これより、左辺は $\omega^2-\omega$ となる。さらに $\omega^2 = -\omega-1$ を代入して整理する。

$$\omega^2-\omega = (-\omega-1) - \omega = -2\omega-1$$

したがって、以下の式が得られる。

$$-2\omega-1 = a\omega+b$$

これを整理すると、

$$(a+2)\omega + (b+1) = 0$$

となる。$a, b$ は実数であり、$\omega$ は虚数であるから、

$$\begin{cases} a+2 = 0 \\ b+1 = 0 \end{cases}$$

が成り立つ。これを解いて $a=-2, b=-1$ を得る。

よって、求める余りは $-2x-1$ である。

解法2

法を $x^2+x+1$ とする多項式の合同式を用いて計算する。

$$x^2+x+1 \equiv 0 \pmod{x^2+x+1}$$

より、

$$x^2 \equiv -x-1 \pmod{x^2+x+1}$$

が成り立つ。また、$x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$ であるから、

$$x^3 \equiv 1 \pmod{x^2+x+1}$$

も成り立つ。

これらを用いて $x^{101}-x$ の次数を下げていく。

$$\begin{aligned} x^{101}-x &= x^{3 \times 33 + 2} - x \\ &= (x^3)^{33} \cdot x^2 - x \end{aligned}$$

$x^3 \equiv 1$ を適用すると、

$$\begin{aligned} (x^3)^{33} \cdot x^2 - x &\equiv 1^{33} \cdot x^2 - x \\ &\equiv x^2 - x \pmod{x^2+x+1} \end{aligned}$$

さらに $x^2 \equiv -x-1$ を適用すると、

$$\begin{aligned} x^2 - x &\equiv (-x-1) - x \\ &\equiv -2x-1 \pmod{x^2+x+1} \end{aligned}$$

$-2x-1$ は $1$ 次式であり、これ以上次数を下げることはできない。

したがって、求める余りは $-2x-1$ である。

解説

「高次式を $2$ 次式で割った余り」を求める典型問題である。割る式が $x^2+x+1$（あるいは $x^2-x+1$、$x^2+1$ など）である場合は、$x^3=1$ などの関係式から次数を大幅に下げることができるため、$1$ の虚数立方根 $\omega$ の性質を利用する解法が非常に有効である。

解法1では剰余の定理の考え方を複素数に拡張して代入法を用い、解法2では割り算を合同式（余り）のまま処理した。どちらも計算量は少なく、確実に正解したい基本問題である。