数学2 常用対数 問題 6 解説

方針・初手

対数の基本的な性質を用いて計算を進める。

(1) では、真数の $6.48$ を分数に直し、素因数分解を利用して与えられた $\log_{10} 2$ と $\log_{10} 3$ の値が使える形に変形する。

(2) では、与えられた条件を不等式で表し、両辺の常用対数をとることで $n$ の範囲を絞り込む。

解法1

(1) 与式を変形すると以下のようになる。

$$\log_{10} \sqrt[4]{6.48} = \frac{1}{4} \log_{10} 6.48$$

ここで、真数 $6.48$ を分数で表し、素因数分解する。

$$6.48 = \frac{648}{100} = \frac{2^3 \cdot 3^4}{10^2}$$

これを対数の式に代入して計算する。

$$\begin{aligned} \log_{10} 6.48 &= \log_{10} \frac{2^3 \cdot 3^4}{10^2} \\ &= \log_{10} (2^3 \cdot 3^4) - \log_{10} 10^2 \\ &= 3 \log_{10} 2 + 4 \log_{10} 3 - 2 \log_{10} 10 \end{aligned}$$

$\log_{10} 10 = 1$ であり、問題文で与えられた $\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ を代入する。

$$\begin{aligned} \log_{10} 6.48 &= 3 \times 0.3010 + 4 \times 0.4771 - 2 \\ &= 0.9030 + 1.9084 - 2 \\ &= 2.8114 - 2 \\ &= 0.8114 \end{aligned}$$

したがって、求める値は以下の通りである。

$$\begin{aligned} \log_{10} \sqrt[4]{6.48} &= \frac{1}{4} \times 0.8114 \\ &= 0.20285 \end{aligned}$$

(2) 問題の条件「$(\sqrt[4]{6.48})^n$ が $100$ を超える」より、次の不等式が成り立つ。

$$(\sqrt[4]{6.48})^n > 100$$

両辺は正であるから、底が $10$ の常用対数をとる。底 $10$ は $1$ より大きいため、不等号の向きは変わらない。

$$\log_{10} (\sqrt[4]{6.48})^n > \log_{10} 100$$

対数の性質を用いて変形する。$\log_{10} 100 = \log_{10} 10^2 = 2$ である。

$$n \log_{10} \sqrt[4]{6.48} > 2$$

(1) で求めた結果 $\log_{10} \sqrt[4]{6.48} = 0.20285$ を代入する。

$$0.20285 n > 2$$

これを $n$ について解く。

$$n > \frac{2}{0.20285} = \frac{200000}{20285} = \frac{40000}{4057}$$

ここで、分数 $\frac{40000}{4057}$ の値を評価する。

$$4057 \times 9 = 36513$$

$$4057 \times 10 = 40570$$

これより、以下の関係が成り立つ。

$$9 < \frac{40000}{4057} < 10$$

すなわち、$n > 9.8\dots$ となる。これを満たす最小の正の整数 $n$ を求めればよい。

よって、$n = 10$ である。

解説

常用対数を用いた桁数や大小比較に関する典型問題である。

(1) では、与えられた小数を分数に直し、素因数分解を利用して $\log_{10} 2$ と $\log_{10} 3$ で表す基本操作が問われている。計算ミスを防ぐために、指数法則と対数の性質を正確に適用することが重要である。

(2) では、「ある値を超える」という条件を不等式で立式し、両辺の常用対数をとるという定石を用いる。(1) の結果をそのまま利用できる構成になっている。最終的に得られた分数の値を見積もる際、正確な小数値を最後まで計算する必要はなく、商の整数部分が特定できれば十分である。

答え

(1) $0.20285$

(2) $n = 10$