数学2 常用対数 問題 7 解説

方針・初手

(1) は正六角形を6つの合同な正三角形に分割して面積を求める。

(2) は図形的な性質から、元の正六角形と新しい正六角形の相似比を求め、面積比を利用する。

(3) は (2) の結果から面積が等比数列をなすことを見抜き、与えられた不等式に常用対数をとって解く。

解法1

(1)

1辺の長さが $a$ の正六角形は、1辺の長さが $a$ の正三角形6個に分割できる。

1つの正三角形の面積は、

$$\frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$$

であるから、正六角形の面積 $S_0$ は、

$$S_0 = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$$

(2)

元の正六角形の各辺の中点を結んでできる新しい正六角形について考える。

元の正六角形の中心を $\text{O}$、隣り合う2つの頂点を $\text{A}, \text{B}$、線分 $\text{AB}$ の中点を $\text{M}$ とすると、$\triangle\text{OAB}$ は1辺 $a$ の正三角形である。

線分 $\text{OM}$ の長さは正三角形 $\triangle\text{OAB}$ の高さに等しいため、

$$\text{OM} = a \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} a$$

となる。

新しい正六角形は、中心 $\text{O}$ から各頂点までの距離が $\text{OM}$ である正六角形となるため、元の正六角形と新しい正六角形の相似比は $a : \frac{\sqrt{3}}{2} a = 1 : \frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

相似な図形の面積比は相似比の2乗に等しいから、

$$S_1 = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 S_0 = \frac{3}{4} S_0$$

(1) の結果を代入して、

$$S_1 = \frac{3}{4} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2 = \frac{9\sqrt{3}}{8} a^2$$

(3)

(2) と同様の操作を繰り返すので、面積 $S_n$ は初項 $S_0$、公比 $\frac{3}{4}$ の等比数列をなす。

したがって、

$$S_n = S_0 \left( \frac{3}{4} \right)^n$$

と表せる。

条件 $S_n \le \frac{1}{18} S_0$ より、

$$S_0 \left( \frac{3}{4} \right)^n \le \frac{1}{18} S_0$$

$S_0 > 0$ であるから、両辺を $S_0$ で割って、

$$\left( \frac{3}{4} \right)^n \le \frac{1}{18}$$

両辺の常用対数をとる。底 $10 > 1$ より大小関係は変わらないので、

$$\log_{10} \left( \frac{3}{4} \right)^n \le \log_{10} \frac{1}{18}$$

$$n (\log_{10} 3 - 2 \log_{10} 2) \le - (\log_{10} 2 + 2 \log_{10} 3)$$

ここで、与えられた値 $\log_{10} 2 = 0.301, \log_{10} 3 = 0.477$ を用いて各辺を計算すると、

$$\begin{aligned} \log_{10} 3 - 2 \log_{10} 2 &= 0.477 - 2 \times 0.301 \\ &= 0.477 - 0.602 \\ &= -0.125 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} - (\log_{10} 2 + 2 \log_{10} 3) &= - (0.301 + 2 \times 0.477) \\ &= - (0.301 + 0.954) \\ &= -1.255 \end{aligned}$$

これらを不等式に代入して、

$$-0.125 n \le -1.255$$

両辺を負の数 $-0.125$ で割って不等号の向きを反転させると、

$$n \ge \frac{1.255}{0.125} = \frac{1255}{125} = 10.04$$

$n$ は整数であるから、これを満たす最小の整数 $n$ は $11$ である。

解説

図形の相似比と面積比の関係、等比数列、および常用対数を用いた不等式の計算を組み合わせた標準的な問題である。

(2) では、具体的に $S_1$ を直接計算してもよいが、相似比を用いることで計算量を大幅に減らすことができる。これは (3) で公比を求める際にもそのまま活用できる。

(3) の対数計算においては、底が $1$ より大きいことを確認したうえで対数をとる記述を忘れないようにしたい。また、負の数で割り算を行う際の不等号の向きの反転など、基本的な計算の扱いに注意する。

答え

(1) $S_0 = \frac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

(2) $S_1 = \frac{9\sqrt{3}}{8} a^2$

(3) $n = 11$