数学2 常用対数 問題 9 解説

方針・初手

与えられた不等式 $38 \leqq \log_{10} 8^n < 39$ から、$8^n$ の桁数と自然数 $n$ の値を決定する。一の位の数字は底の累乗の周期性に着目して求め、最高位の数字は $\log_{10} 8^n$ の小数部分を評価することで求める。

解法1

条件より、

$$38 \leqq \log_{10} 8^n < 39$$

対数の定義より、

$$10^{38} \leqq 8^n < 10^{39}$$

が成り立つ。したがって、$8^n$ は $39$ 桁の自然数である。

次に、$n$ の値を求める。$\log_{10} 8^n = n \log_{10} 2^3 = 3n \log_{10} 2$ であるから、与えられた不等式は

$$38 \leqq 3n \times 0.3010 < 39$$

$$38 \leqq 0.9030n < 39$$

となる。各辺を $0.9030$ で割ると、

$$\frac{38000}{903} \leqq n < \frac{39000}{903}$$

ここで、$\frac{38000}{903} = 42.08\cdots$、$\frac{39000}{903} = 43.18\cdots$ であるから、

$$42.08\cdots \leqq n < 43.18\cdots$$

$n$ は自然数であるから、$n = 43$ である。

続いて、$8^n$ すなわち $8^{43}$ の一の位の数字を求める。$8$ の累乗の一の位の数字を順に調べると、

• $8^1$ の一の位は $8$
• $8^2 = 64$ の一の位は $4$
• $8^3 = 512$ の一の位は $2$
• $8^4 = 4096$ の一の位は $6$
• $8^5$ の一の位は $8 \times 6 = 48$ より $8$

となり、一の位の数字は $8, 4, 2, 6$ の4つの数字の列を繰り返す。ここで、指数の $43$ を $4$ で割ると、

$$43 = 4 \times 10 + 3$$

となるから、$8^{43}$ の一の位の数字は、周期の3番目の数字である $2$ である。

最後に、$8^{43}$ の最高位の数字を求める。$n = 43$ のとき、

$$\log_{10} 8^{43} = 43 \times 0.9030 = 38.8290$$

である。よって、

$$8^{43} = 10^{38.8290} = 10^{0.8290} \times 10^{38}$$

と表せる。最高位の数字は、$10^{0.8290}$ の整数部分である。ここで、与えられた値を用いて $\log_{10} 6$ と $\log_{10} 7$ を計算すると、

$$\log_{10} 6 = \log_{10} 2 + \log_{10} 3 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$$

$$\log_{10} 7 = 0.8451$$

となる。したがって、

$$\log_{10} 6 < 0.8290 < \log_{10} 7$$

すなわち、

$$6 < 10^{0.8290} < 7$$

が成り立つ。これより、$10^{0.8290}$ は $6. \cdots$ となるため、最高位の数字は $6$ である。

解説

常用対数を用いた桁数と最高位の数字の決定、および累乗の一の位の周期性に関する標準的な問題である。

桁数や最高位の数字を求める際には、対象の数の常用対数を計算し、整数部分と小数部分に分けることが基本となる。整数部分が桁数に関する情報（桁数 $-1$）を表し、小数部分が最高位の数字を決定する。最高位の数字の評価では、$\log_{10} 2, \log_{10} 3, \log_{10} 7$ の値から他の整数（今回は $6$）の常用対数を計算し、求めた小数部分を挟み込む不等式を作る手法が重要である。

答え

[ ア ] $39$

[ イ ] $43$

[ ウ ] $2$

[ エ ] $6$