数学2 桁数の問題 問題 3 解説

方針・初手

ある正の整数 $N$ が $k$ 桁の整数であるための条件は、$10^{k-1} \leqq N < 10^k$ が成り立つことである。 この不等式の各辺の常用対数をとることで、桁数の問題を対数の値の評価に帰着させる。与えられていない $\log_{10} 5$ の値は、$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = 1 - \log_{10} 2$ の関係を用いて求める。

解法1

$5^m$ が11桁の整数であるための条件は、

$$10^{10} \leqq 5^m < 10^{11}$$

である。この各辺の常用対数をとると、底の $10$ は $1$ より大きいから、

$$10 \leqq m \log_{10} 5 < 11$$

となる。ここで、$\log_{10} 5$ の値は $\log_{10} 2 = 0.3010$ を用いて次のように計算できる。

$$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$$

これを上の不等式に代入すると、

$$10 \leqq 0.6990 m < 11$$

各辺を $0.6990$ で割ると、

$$\frac{10}{0.6990} \leqq m < \frac{11}{0.6990}$$

$$\frac{10000}{699} \leqq m < \frac{11000}{699}$$

$$14.3\cdots \leqq m < 15.7\cdots$$

$m$ は整数であるから、この不等式を満たす $m$ は

$$m = 15$$

のみである。

次に、$m = 15$ のときの $8^m$ すなわち $8^{15}$ の桁数を求める。$8^{15}$ の常用対数をとると、

$$\log_{10} 8^{15} = 15 \log_{10} 2^3 = 45 \log_{10} 2$$

$$\log_{10} 8^{15} = 45 \times 0.3010 = 13.545$$

これより、次の不等式が成り立つ。

$$13 \leqq \log_{10} 8^{15} < 14$$

底を $10$ とした指数表記に直すと、

$$10^{13} \leqq 8^{15} < 10^{14}$$

が成り立つ。したがって、$8^{15}$ は14桁の整数である。

解説

桁数を求める問題における基本的な処理を問う問題である。正の整数 $N$ が $k$ 桁であることは、$10^{k-1} \leqq N < 10^k$ と同値であり、各辺の常用対数をとることで $k-1 \leqq \log_{10} N < k$ と変形して考えるのが定石である。また、$\log_{10} 2$ の値のみが与えられている状況で $\log_{10} 5$ の値を $1 - \log_{10} 2$ として求める変形も、常用対数の計算において非常に頻出の手法である。

答え

[ア] 15

[イ] 14