数学2 桁数の問題 問題 4 解説

方針・初手

$X = \frac{2^{100}}{7}$ とおく。 桁数と最高位の数を求めるため、$\log_{10} X$ の値を計算する。常用対数の値から、整数部分と小数部分を分け、それぞれから桁数と最高位の数を判定する。 小数第1位と1の位については、$2^{100}$ を $7$ で割った商と余りを考える。余りから小数部分が確定し、商の $10$ を法とする合同式から1の位が確定する。

解法1

$X = \frac{2^{100}}{7}$ とおき、その常用対数をとる。

$$\log_{10} X = \log_{10} \frac{2^{100}}{7} = 100 \log_{10} 2 - \log_{10} 7$$

与えられた値 $\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 7 = 0.8451$ を代入する。

$$\log_{10} X = 100 \times 0.3010 - 0.8451 = 30.10 - 0.8451 = 29.2549$$

ゆえに、$29 \le \log_{10} X < 30$ であるから、

$$10^{29} \le X < 10^{30}$$

となり、$X$ の整数部分は $30$ 桁の整数である。

また、$\log_{10} X = 29 + 0.2549$ より、

$$X = 10^{29.2549} = 10^{0.2549} \times 10^{29}$$

である。最高位の数は $10^{0.2549}$ の整数部分と一致する。 ここで、$\log_{10} 1 = 0$、$\log_{10} 2 = 0.3010$ であり、$0 < 0.2549 < 0.3010$ であるから、

$$\log_{10} 1 < \log_{10} 10^{0.2549} < \log_{10} 2$$

すなわち、$1 < 10^{0.2549} < 2$ となる。 したがって、最高位の数は $1$ である。

次に、$X$ の小数第1位と1の位を求める。 $2^{100}$ を $7$ で割った商を $k$（整数）、余りを $r$（$0 \le r < 7$）とおくと、

$$2^{100} = 7k + r$$

と表せる。この両辺を $7$ で割ると、

$$\frac{2^{100}}{7} = k + \frac{r}{7}$$

となる。$k$ は整数であり、$0 \le \frac{r}{7} < 1$ であるから、$k$ が $X$ の整数部分、$\frac{r}{7}$ が $X$ の小数部分である。 $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod 7$ を用いて、$2^{100}$ を $7$ で割った余り $r$ を求める。

$$2^{100} = 2^{99} \cdot 2 = (2^3)^{33} \cdot 2 \equiv 1^{33} \cdot 2 \equiv 2 \pmod 7$$

よって、$r = 2$ である。 小数部分は $\frac{2}{7}$ であり、

$$\frac{2}{7} = 0.2857\dots$$

であるから、小数第1位は $2$ である。

さらに、整数部分 $k$ の1の位を求める。これは $k \pmod{10}$ を求めることと同値である。 $2^{100} = 7k + 2$ の両辺を法 $10$ で考える。 $2^1 \equiv 2$、$2^2 \equiv 4$、$2^3 \equiv 8$、$2^4 \equiv 16 \equiv 6$、$2^5 \equiv 32 \equiv 2 \pmod{10}$ より、底が $2$ の累乗の1の位は $2, 4, 8, 6$ の周期 $4$ で繰り返す。 $100 = 4 \times 25$ であるから、$2^{100}$ の1の位は $2^4$ の1の位と等しく、$6$ である。 すなわち、$2^{100} \equiv 6 \pmod{10}$ である。 これを代入すると、

$$7k + 2 \equiv 6 \pmod{10}$$

$$7k \equiv 4 \pmod{10}$$

となる。$k \equiv 0, 1, 2, \dots, 9 \pmod{10}$ を順に調べると、$7 \times 2 = 14 \equiv 4 \pmod{10}$ であるから、

$$k \equiv 2 \pmod{10}$$

を得る。 したがって、整数部分の1の位は $2$ である。

解説

常用対数を用いた桁数と最高位の数の決定は典型問題である。対数の値を整数部分と小数部分に分け、小数部分を $\log_{10} M$ の形に挟み込むことで最高位の数を特定する。 一方、小数第1位や1の位の決定には、合同式を用いた整数の性質の考察が必要になる。分数のままで考えるのではなく、割り算の等式を立てて商と余りに分けることで、整数部分と小数部分を明確に切り分けるのがポイントである。特に商 $k$ の1の位を求める際に、等式をそのまま $10$ を法とする合同式で評価する手法は非常に有効である。

答え

[フへ] 30

[ホ] 1

[マ] 2

[ミ] 2