数学2 桁数の問題 問題 5 解説

方針・初手

巨大な累乗の数の桁数を求める問題であるため、常用対数（底が $10$ の対数）を利用する。

正の整数 $N$ が $n$ 桁の整数であるための条件は、$10^{n-1} \le N < 10^n$ が成り立つことである。この各辺の常用対数をとると、$n-1 \le \log_{10} N < n$ となる。すなわち、$\log_{10} N$ の値を計算し、それがどの連続する整数の間にあるかを調べればよい。

解法1

$3^{100}$ の常用対数をとると、対数の性質より以下のようになる。

$$\log_{10} 3^{100} = 100 \log_{10} 3$$

問題で与えられた $\log_{10} 3 = 0.4771$ を代入して計算する。

$$100 \times 0.4771 = 47.71$$

この結果から、次の不等式が成り立つことがわかる。

$$47 \le \log_{10} 3^{100} < 48$$

底である $10$ は $1$ より大きいため、この不等式から真数の大小関係は以下のようになる。

$$10^{47} \le 3^{100} < 10^{48}$$

$10^{47}$ は $1$ の後に $0$ が $47$ 個続く数であり、最小の $48$ 桁の整数である。また、$10^{48}$ は最小の $49$ 桁の整数である。

したがって、$3^{100}$ は $48$ 桁の整数である。

解説

常用対数を用いて整数の桁数を求める典型的な問題である。

結果として「$\log_{10} N$ の整数部分に $1$ を加えたものが桁数になる」という規則で解くことができるが、単に公式として暗記するのではなく、なぜそうなるのかを $10^{n-1} \le N < 10^n$ という不等式に立ち返って理解しておくことが重要である。これにより、小数の首位に初めて $0$ でない数字が現れる位を求める問題など、類似の問題にも迷わず対応できるようになる。

答え

48