数学2 桁数の問題 問題 6 解説

方針・初手

• 求める値の真数 $3.6$ を、値が与えられている $\log_{10} 6$ を用いて表すため、$3.6 = \frac{6^2}{10}$ と変形する。
• 桁数の問題は常用対数をとって不等式で評価する。ある自然数 $N$ が $k$ 桁の整数である条件は $10^{k-1} \leqq N < 10^k$ であり、底が $10$ の常用対数をとることで $k-1 \leqq \log_{10} N < k$ を得る。この関係式を利用して $n$ の範囲を絞り込む。

解法1

$\log_{10} 3.6$ の値を求める。 真数を変形し、対数の性質を用いると、

$$\log_{10} 3.6 = \log_{10} \frac{36}{10}$$

$$= \log_{10} 6^2 - \log_{10} 10$$

$$= 2 \log_{10} 6 - 1$$

となる。ここで、与えられた $\log_{10} 6 = 0.7782$ を代入して計算する。

$$2 \times 0.7782 - 1 = 1.5564 - 1 = 0.5564$$

したがって、$\log_{10} 3.6$ の値は $0.5564$ である。

次に、$6^n$ が $26$ 桁の整数となるような自然数 $n$ を求める。 $6^n$ が $26$ 桁の整数であるための条件は、

$$10^{25} \leqq 6^n < 10^{26}$$

である。底が $10$ の常用対数をとると、底が $1$ より大きいため不等号の向きは変わらず、

$$25 \leqq \log_{10} 6^n < 26$$

$$25 \leqq n \log_{10} 6 < 26$$

となる。$\log_{10} 6 = 0.7782$ を代入すると、

$$25 \leqq 0.7782 n < 26$$

$$\frac{25}{0.7782} \leqq n < \frac{26}{0.7782}$$

となる。ここで、各辺の分数の値を計算すると、

$$\frac{25}{0.7782} = 32.12 \cdots$$

$$\frac{26}{0.7782} = 33.41 \cdots$$

となるため、不等式は以下のように表せる。

$$32.12 \cdots \leqq n < 33.41 \cdots$$

この不等式を満たす自然数 $n$ は $33$ のみである。

解説

• 常用対数を利用した値の計算と、桁数判定の基本問題である。
• 与えられた $\log_{10} 6$ の値を使うために、小数である真数 $3.6$ を分数 $\frac{36}{10}$ から $\frac{6^2}{10}$ へ変形する発想が重要である。
• $N$ が $k$ 桁の整数であるための条件 $10^{k-1} \leqq N < 10^k$ から、常用対数をとって $k-1 \leqq \log_{10} N < k$ を導出する流れを確実に押さえておきたい。

答え

[カ] $0.5564$

[キ] $33$