数学2 桁数の問題 問題 7 解説

方針・初手

与えられた数の常用対数（底が $10$ の対数）を計算し、その値の範囲から整数の桁数および小数の首位（初めて $0$ でない数字が現れる位）を求める。

正の数 $N$ について、常用対数 $\log_{10} N$ の値が $m-1 \leqq \log_{10} N < m$ （$m$ は自然数）を満たすとき、$N$ は $m$ 桁の整数となる。 また、$-n \leqq \log_{10} N < -n+1$ （$n$ は自然数）を満たすとき、$N$ を小数で表すと小数第 $n$ 位に初めて $0$ でない数字が現れる。

解法1

まず、$6^{30}$ の常用対数をとる。

$$\begin{aligned} \log_{10} 6^{30} &= 30 \log_{10} 6 \\ &= 30 \log_{10} (2 \times 3) \\ &= 30 (\log_{10} 2 + \log_{10} 3) \end{aligned}$$

与えられた $\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ を代入して計算する。

$$\begin{aligned} \log_{10} 6^{30} &= 30 (0.3010 + 0.4771) \\ &= 30 \times 0.7781 \\ &= 23.343 \end{aligned}$$

これにより、次の不等式が成り立つ。

$$23 \leqq \log_{10} 6^{30} < 24$$

対数の定義より、これを真数の不等式に直す。

$$10^{23} \leqq 6^{30} < 10^{24}$$

したがって、$6^{30}$ は $24$ 桁の整数である。

次に、$\left(\frac{1}{18}\right)^{20}$ の常用対数をとる。

$$\begin{aligned} \log_{10} \left(\frac{1}{18}\right)^{20} &= -20 \log_{10} 18 \\ &= -20 \log_{10} (2 \times 3^2) \\ &= -20 (\log_{10} 2 + 2\log_{10} 3) \end{aligned}$$

同様に数値を代入して計算する。

$$\begin{aligned} \log_{10} \left(\frac{1}{18}\right)^{20} &= -20 (0.3010 + 2 \times 0.4771) \\ &= -20 (0.3010 + 0.9542) \\ &= -20 \times 1.2552 \\ &= -25.104 \end{aligned}$$

これにより、次の不等式が成り立つ。

$$-26 \leqq \log_{10} \left(\frac{1}{18}\right)^{20} < -25$$

対数の定義より、これを真数の不等式に直す。

$$10^{-26} \leqq \left(\frac{1}{18}\right)^{20} < 10^{-25}$$

したがって、$\left(\frac{1}{18}\right)^{20}$ を小数で表したとき、小数第 $26$ 位に初めて $0$ でない数字が現れる。

解説

常用対数を用いて巨大な数の桁数や、微小な数の小数第何位に初めて $0$ でない数字が現れるかを判定する典型問題である。

対数の性質 $\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y$ や $\log_a x^p = p \log_a x$ を用いて、与えられた数値を素因数分解の形にし、$\log_{10} 2$ と $\log_{10} 3$ の値だけで計算できるように式を整理することが基本である。

小数第何位かを求める際は、負の数の扱いに注意が必要である。$-25.104$ を挟む整数は $-26$ と $-25$ であり、$-25$ と $-24$ ではない。不等式で評価する習慣をつけておくと、この種のケアレスミスを防ぎやすい。

答え

[ア] 24

[イ] 26