数学2 桁数の問題 問題 8 解説

方針・初手

桁数および最高位の数を求める問題である。与えられた正の数の常用対数（底が $10$ の対数）を計算し、その値の整数部分から桁数を、小数部分から最高位の数を判定する。

解法1

(1)

$2^{2011}$ の常用対数を計算する。

$$\log_{10} 2^{2011} = 2011 \log_{10} 2$$

与えられた値 $\log_{10} 2 = 0.3010$ を代入する。

$$2011 \times 0.3010 = 605.311$$

したがって、$\log_{10} 2^{2011}$ は $605$ と $606$ の間にある。

$$605 \leqq \log_{10} 2^{2011} < 606$$

この不等式の各辺を $10$ を底とする指数で表す。

$$10^{605} \leqq 2^{2011} < 10^{606}$$

$10^{605}$ は $606$ 桁の最小の整数であり、$10^{606}$ は $607$ 桁の最小の整数である。よって、$2^{2011}$ は $606$ 桁の整数である。

(2)

(1) の計算結果より、$\log_{10} 2^{2011} = 605.311$ である。これを整数部分と小数部分に分ける。

$$\log_{10} 2^{2011} = 605 + 0.311$$

対数の定義より、$2^{2011}$ を次のように表すことができる。

$$2^{2011} = 10^{605.311} = 10^{0.311} \times 10^{605}$$

ここで、$10^{0.311}$ の値の範囲を調べる。与えられた条件 $\log_{10} 2 = 0.3010$ と $\log_{10} 3 = 0.4771$ より、それぞれの真数についての関係式を作る。

$$10^{0.3010} = 2, \quad 10^{0.4771} = 3$$

小数部分 $0.311$ は、$0.3010$ より大きく $0.4771$ より小さい。

$$0.3010 < 0.311 < 0.4771$$

この関係から、底が $10$ の指数をとる。

$$10^{0.3010} < 10^{0.311} < 10^{0.4771}$$

すなわち、次の不等式が得られる。

$$2 < 10^{0.311} < 3$$

したがって、$10^{0.311}$ は $2. \cdots$ という数である。

$$2^{2011} = (2. \cdots) \times 10^{605}$$

となるため、$2^{2011}$ の最高位の数は $2$ である。

解説

常用対数を用いた数の規模（桁数や最高位の数字）を把握する典型的な問題である。

正の整数 $N$ が $k$ 桁であることは、$10^{k-1} \leqq N < 10^k$ と同値であり、各辺の常用対数をとることで $k-1 \leqq \log_{10} N < k$ が得られる。つまり、$\log_{10} N$ の整数部分に $1$ を加えたものが桁数となる。

また、$N$ の最高位の数が $a$ ($1 \leqq a \leqq 9$ を満たす整数) であることは、$a \times 10^{k-1} \leqq N < (a+1) \times 10^{k-1}$ と同値である。常用対数をとると $\log_{10} a \leqq \log_{10} N - (k-1) < \log_{10} (a+1)$ となる。$\log_{10} N - (k-1)$ は $\log_{10} N$ の小数部分に相当するため、小数部分がどの整数の常用対数の間にあるかを調べることで最高位の数が決定できる。

答え

(1) 606桁

(2) 2