数学2 桁数の問題 問題 9 解説

方針・初手

与えられた数 $25^{26}$ に対して常用対数（底が $10$ の対数）をとり、その値を計算する。常用対数の値が $n \leqq \log_{10} N < n+1$（$n$ は整数）を満たすとき、数 $N$ の桁数は $n+1$ 桁となる。また、常用対数値の小数部分から最高位の数字を特定する。

解法1

$25^{26}$ の常用対数をとると、

$$\begin{aligned} \log_{10} 25^{26} &= 26 \log_{10} 25 \\ &= 26 \log_{10} 5^2 \\ &= 52 \log_{10} \frac{10}{2} \\ &= 52 (\log_{10} 10 - \log_{10} 2) \\ &= 52 (1 - 0.3010) \\ &= 52 \times 0.6990 \\ &= 36.348 \end{aligned}$$

となる。したがって、

$$36 \leqq \log_{10} 25^{26} < 37$$

が成り立つ。これを変形すると、

$$10^{36} \leqq 25^{26} < 10^{37}$$

となるため、$25^{26}$ は $37$ 桁の数である。

次に、最高位の数字を求める。$\log_{10} 25^{26}$ の小数部分は $0.348$ である。 与えられた値より、$\log_{10} 2 = 0.3010, \log_{10} 3 = 0.4771$ であるから、

$$\log_{10} 2 < 0.348 < \log_{10} 3$$

が成り立つ。各辺に $36$ を加えると、

$$36 + \log_{10} 2 < 36.348 < 36 + \log_{10} 3$$

となる。対数の性質を用いて変形すると、

$$\log_{10} 10^{36} + \log_{10} 2 < \log_{10} 25^{26} < \log_{10} 10^{36} + \log_{10} 3$$

$$\log_{10} (2 \times 10^{36}) < \log_{10} 25^{26} < \log_{10} (3 \times 10^{36})$$

底の $10$ は $1$ より大きいため、真数の大小関係もこれに一致する。

$$2 \times 10^{36} < 25^{26} < 3 \times 10^{36}$$

よって、$25^{26}$ の最高位の数字は $2$ である。

解説

巨大な数の桁数と最高位の数字を求める、常用対数の極めて典型的な問題である。 $\log_{10} 5$ の値が直接与えられていないため、$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = 1 - \log_{10} 2$ と変形して計算する手法は非常によく用いられる。 また、最高位の数字は常用対数の小数部分に着目し、与えられた対数値（今回は $\log_{10} 2$ と $\log_{10} 3$）で挟み込むことで特定できる。この一連の流れは確実に押さえておきたい。

答え

ア: 37

イ: 2