数学2 指数関数 問題 3 解説

方針・初手

指数に変数 $x$ が含まれる不等式である。底を $3$ に揃え、$3^x = t$ と置き換えることで、$t$ の2次不等式に帰着させる。

解法1

与えられた不等式は、

$$(3^2)^x - 4 \cdot 3 \cdot 3^x + 27 < 0$$

と変形できる。すなわち、

$$(3^x)^2 - 12 \cdot 3^x + 27 < 0$$

である。ここで、$3^x = t$ とおくと、$t > 0$ であり、不等式は次のように表される。

$$t^2 - 12t + 27 < 0$$

左辺を因数分解して、

$$(t - 3)(t - 9) < 0$$

これを解くと、

$$3 < t < 9$$

となる。これは $t > 0$ を満たす。

$t = 3^x$ に戻すと、

$$3 < 3^x < 9$$

すなわち、

$$3^1 < 3^x < 3^2$$

底 $3$ は $1$ より大きいので、指数の大小関係はそのまま保たれ、

$$1 < x < 2$$

となる。

解説

指数方程式・不等式の基本問題である。$a^x$ を含む式では、$a^x = t$ とおいて $t$ の方程式や不等式に持ち込むのが定石である。このとき、$t > 0$ という条件が付随することに注意が必要であるが、本問では求めた $t$ の範囲が常に正であるため、結果に影響を与えない。

なお、問題文の表記は「方程式」となっているが、式自体が不等号を用いた不等式であるため、不等式として解を求めている。

答え

$$1 < x < 2$$