トップ› 基礎問題› 数学2› 指数対数› 指数関数› 問題 4

数学2 指数関数問題 4 解説

方針・初手

$2^x = t$ とおき、$t$ についての3次方程式に帰着させる。このとき、指数関数の値域から $t > 0$ であることに注意する。

解法1

与えられた方程式 $2^{3x} - 3 \cdot 2^{2x} + 2^{x+1} = 0$ は、次のように変形できる。

$$(2^x)^3 - 3(2^x)^2 + 2 \cdot 2^x = 0$$

ここで、$2^x = t$ とおくと、$t > 0$ であり、方程式は以下のようになる。

$$t^3 - 3t^2 + 2t = 0$$

左辺を因数分解して解く。

$$\begin{aligned} t(t^2 - 3t + 2) &= 0 \\ t(t - 1)(t - 2) &= 0 \end{aligned}$$

$t > 0$ であるから、これを満たす $t$ は以下の通りである。

$$t = 1, 2$$

$t = 2^x$ であったから、それぞれについて $x$ を求める。

$$\begin{aligned} 2^x &= 1 \quad \text{より} \quad x = 0 \\ 2^x &= 2 \quad \text{より} \quad x = 1 \end{aligned}$$

したがって、求める解は $x = 0, 1$ である。

解説

指数方程式の基本的な解法を問う問題である。累乗の底を揃え、$2^x = t$ と置換して整方程式に帰着させる典型的な処理を行う。文字を置換した際は、新しい文字の変域（この場合は $t > 0$）を必ず確認する習慣をつけておきたい。本問では $t=0$ という解も方程式からは出てくるが、$t > 0$ の条件により除外される。