数学2 指数関数 問題 5 解説

方針・初手

指数関数の形をした方程式の解の個数を問う問題である。 (1)の誘導に従い、$t=2^x$ とおいて $t$ の3次方程式に帰着させる。 (2)では、置換した文字 $t$ の変域に注意しながら、定数分離法を用いて方程式の解の個数をグラフの共有点の個数として視覚的に捉える。$x$ と $t$ が1対1に対応することも重要なポイントとなる。

解法1

(1)

$f(x) = 8^x - 3 \cdot 2^x + a$ とする。 $8^x = (2^3)^x = (2^x)^3$ であるから、$t = 2^x$ とおくと、

$$8^x = t^3$$

となる。よって、$f(x) = 0$ は次のように表される。

$$t^3 - 3t + a = 0$$

(2)

$t = 2^x$ について、底が $2 > 0$ であるため、実数 $x$ に対して常に $t > 0$ であり、$x$ と $t$ は1対1に対応する。 したがって、$x$ の方程式 $f(x) = 0$ の解の個数は、$t$ の方程式 $t^3 - 3t + a = 0$ の $t > 0$ における解の個数に等しい。

$t^3 - 3t + a = 0$ を定数 $a$ について解くと、

$$a = -t^3 + 3t$$

となる。この方程式の実数解の個数は、$t > 0$ において、曲線 $y = -t^3 + 3t$ と直線 $y = a$ の共有点の個数に一致する。

$g(t) = -t^3 + 3t$ とおくと、

$$g'(t) = -3t^2 + 3 = -3(t-1)(t+1)$$

$g'(t) = 0$ となる $t$ の値は $t = \pm 1$ であり、$t > 0$ における $g(t)$ の増減表は以下のようになる。

また、$\lim_{t \to \infty} g(t) = -\infty$ である。

したがって、$y = g(t)$ ($t > 0$) のグラフは、点 $(1, 2)$ で極大となり、原点 $(0, 0)$ は含まない。 この曲線と直線 $y = a$ の共有点の個数を調べると、以下のようになる。

• $a > 2$ のとき、$0$ 個
• $a = 2$ または $a \le 0$ のとき、$1$ 個
• $0 < a < 2$ のとき、$2$ 個

解説

指数方程式を多項式の方程式に置き換えて考える典型問題である。 変数変換 $t = 2^x$ を行った際、新しい変数 $t$ の変域が $t > 0$ に制限されることに注意する必要がある。 また、方程式の解の個数を定数 $a$ の値で分類する場合、定数分離（$a = \text{（}t \text{ の式）}$ の形に変形する）を行うことで、曲線のグラフと横に平行な直線との交点として視覚的に分かりやすく処理できる。 直線 $y = a$ との交点を考える際、定義域の端点である原点 $(0,0)$ は含まれないことに注意する。したがって、$a = 0$ のときの解の個数は2個ではなく1個となる点に気をつける必要がある。

答え

(1)

$$t^3 - 3t + a = 0$$

(2)

$a > 2$ のとき、$0$ 個

$a = 2, \ a \le 0$ のとき、$1$ 個

$0 < a < 2$ のとき、$2$ 個