数学2 指数関数 問題 9 解説

方針・初手

与えられた式には様々な累乗根（3乗根、平方根、4乗根、12乗根）が含まれている。計算を進めるためには、各項を素因数分解し、累乗根を有理数指数に書き換えて底ごとにまとめるのが確実な方法である。あるいは、同じ累乗根（例えば4乗根）を持つ項同士を先にまとめて計算し、全体を簡略化する工夫も有効である。

解法1

各項を素因数分解し、有理数の指数を用いて表す。

$$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{2 \times 3^3} = 2^{\frac{1}{3}} \times 3^1$$

$$\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$$

$$\sqrt[4]{14} = \sqrt[4]{2 \times 7} = 2^{\frac{1}{4}} \times 7^{\frac{1}{4}}$$

$$\frac{1}{\sqrt[4]{490}} = (490)^{-\frac{1}{4}} = (2 \times 5 \times 7^2)^{-\frac{1}{4}} = 2^{-\frac{1}{4}} \times 5^{-\frac{1}{4}} \times 7^{-\frac{1}{2}}$$

$$\sqrt[4]{10} = \sqrt[4]{2 \times 5} = 2^{\frac{1}{4}} \times 5^{\frac{1}{4}}$$

$$\frac{1}{\sqrt[4]{7}} = 7^{-\frac{1}{4}}$$

$$\frac{1}{\sqrt[12]{2}} = 2^{-\frac{1}{12}}$$

与式をこれらを用いて書き換えると、以下のようになる。

$$\left(2^{\frac{1}{3}} \times 3^1\right) \times 7^{\frac{1}{2}} \times \left(2^{\frac{1}{4}} \times 7^{\frac{1}{4}}\right) \times \left(2^{-\frac{1}{4}} \times 5^{-\frac{1}{4}} \times 7^{-\frac{1}{2}}\right) \times \left(2^{\frac{1}{4}} \times 5^{\frac{1}{4}}\right) \times 7^{-\frac{1}{4}} \times 2^{-\frac{1}{12}}$$

底が同じもの同士をまとめ、指数法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ を用いて指数を足し合わせる。

底が2の項の指数は、

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

底が3の項の指数は、

$$1$$

底が5の項の指数は、

$$-\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 0$$

底が7の項の指数は、

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = 0$$

よって、与式は次のように計算される。

$$2^{\frac{1}{2}} \times 3^1 \times 5^0 \times 7^0 = \sqrt{2} \times 3 \times 1 \times 1 = 3\sqrt{2}$$

解法2

同じ累乗根を持つ項を先にまとめて計算する。

与式の中から、4乗根を持つ項を取り出して掛け合わせる。

$$\sqrt[4]{14} \times \frac{1}{\sqrt[4]{490}} \times \sqrt[4]{10} \times \frac{1}{\sqrt[4]{7}} = \sqrt[4]{\frac{14 \times 10}{490 \times 7}}$$

根号の中を約分する。

$$\frac{14 \times 10}{490 \times 7} = \frac{140}{3430} = \frac{14}{343} = \frac{2}{49}$$

したがって、4乗根の積は次のようになる。

$$\sqrt[4]{\frac{2}{49}} = \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{49}} = \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt[4]{7^2}} = \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{7}}$$

これを元の式に戻すと、$\sqrt{7}$ と約分できることがわかる。

$$\sqrt[3]{54} \times \sqrt{7} \times \frac{\sqrt[4]{2}}{\sqrt{7}} \times \frac{1}{\sqrt[12]{2}} = \sqrt[3]{54} \times \sqrt[4]{2} \times \frac{1}{\sqrt[12]{2}}$$

$\sqrt[3]{54}$ を整理し、各項を底が2の累乗根の形に書き直す。

$$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \times 2} = 3\sqrt[3]{2} = 3 \times 2^{\frac{1}{3}}$$

残りの計算を行う。

$$3 \times 2^{\frac{1}{3}} \times 2^{\frac{1}{4}} \times 2^{-\frac{1}{12}} = 3 \times 2^{\frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{12}}$$

指数の計算は $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$ となるため、

$$3 \times 2^{\frac{1}{2}} = 3\sqrt{2}$$

解説

累乗根が複雑に絡み合った計算問題である。このような問題では、無理に根号のまま計算を進めようとするよりも、有理数指数（分数乗）の形にすべて変換し、素因数（2, 3, 5, 7など）ごとに指数を足し引きするアプローチ（解法1）が最も機械的で計算ミスを防ぎやすい。

一方で、同じ累乗根を持つ項に着目して部分的に計算を進めること（解法2）で、分母分子の相殺が起こり、より早く計算を済ませることができる場合もある。どちらの方法を選ぶにせよ、指数法則の基本を正しく用いることが不可欠である。

答え

$3\sqrt{2}$