数学2 指数関数 問題 10 解説

方針・初手

累乗根をすべて有理数の指数の形（$a^{\frac{m}{n}}$）に直し、指数法則を用いて左辺を $3$ の累乗の形にまとめる。

解法1

与式の左辺の各項を $3^p$ の形に変形する。

$$\sqrt[3]{3^2} = 3^{\frac{2}{3}}$$

$$\sqrt[4]{3} = 3^{\frac{1}{4}}$$

$$\sqrt[6]{3\sqrt{3}} = \sqrt[6]{3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[6]{3^{1 + \frac{1}{2}}} = \sqrt[6]{3^{\frac{3}{2}}} = \left( 3^{\frac{3}{2}} \right)^{\frac{1}{6}} = 3^{\frac{3}{2} \times \frac{1}{6}} = 3^{\frac{1}{4}}$$

これらを元の式の左辺に代入すると、

$$\begin{aligned} \sqrt[3]{3^2} \times \sqrt[4]{3} \div \sqrt[6]{3\sqrt{3}} &= 3^{\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{1}{4}} \div 3^{\frac{1}{4}} \\ &= 3^{\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}} \\ &= 3^{\frac{2}{3}} \times 3^0 \\ &= 3^{\frac{2}{3}} \end{aligned}$$

となる。

したがって、与えられた等式は

$$3^{\frac{2}{3}} = 3^k$$

となる。底は $3$ であり $3 > 0, 3 \neq 1$ であるから、両辺の指数を比較して、

$$k = \frac{2}{3}$$

解説

累乗根の計算は、そのまま扱うと計算ミスを誘発しやすいため、初手で素早く有理数の指数（分数指数）に直すのが定石である。

$a>0$ のとき、$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$ や、指数法則 $a^p \times a^q = a^{p+q}$、$a^p \div a^q = a^{p-q}$ などを正確に適用できれば容易に解くことができる。

また、本問では計算途中で $3^{\frac{1}{4}}$ が掛け算と割り算で相殺されることに気づけば、計算の負担を大きく減らすことができる。

答え

$$k = \frac{2}{3}$$