数学2 指数関数 問題 11 解説

方針・初手

与えられた分数の式を、値がわかっている $a^{2x}$ で表すことを考える。 分母分子に $a^x$ を掛けて式を $a^{2x}$ のみで構成される形に変形する方法と、分子の $a^{3x} - a^{-3x}$ を因数分解して約分する方法がある。

解法1

与式の分母・分子に $a^x$ を掛けると、

$$\frac{a^{3x} - a^{-3x}}{a^x - a^{-x}} = \frac{a^x(a^{3x} - a^{-3x})}{a^x(a^x - a^{-x})}$$

$$= \frac{a^{4x} - a^{-2x}}{a^{2x} - a^0}$$

$$= \frac{(a^{2x})^2 - (a^{2x})^{-1}}{a^{2x} - 1}$$

ここで、$a^{2x} = 5$ であるから、$(a^{2x})^{-1} = \frac{1}{a^{2x}} = \frac{1}{5}$ となる。 これらを代入して計算すると、

$$\frac{5^2 - \frac{1}{5}}{5 - 1} = \frac{25 - \frac{1}{5}}{4}$$

$$= \frac{\frac{124}{5}}{4}$$

$$= \frac{31}{5}$$

解法2

分子の $a^{3x} - a^{-3x}$ を、$A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$ の因数分解公式を用いて変形する。

$$a^{3x} - a^{-3x} = (a^x)^3 - (a^{-x})^3$$

$$= (a^x - a^{-x})(a^{2x} + a^x \cdot a^{-x} + a^{-2x})$$

$$= (a^x - a^{-x})(a^{2x} + 1 + a^{-2x})$$

ここで、$a>0$ かつ $a^{2x} = 5 \neq 1$ より $x \neq 0$ であるから、$a^x \neq a^{-x}$ つまり $a^x - a^{-x} \neq 0$ となり約分ができる。 与式に代入して約分すると、

$$\frac{a^{3x} - a^{-3x}}{a^x - a^{-x}} = \frac{(a^x - a^{-x})(a^{2x} + 1 + a^{-2x})}{a^x - a^{-x}}$$

$$= a^{2x} + 1 + a^{-2x}$$

$$= a^{2x} + 1 + \frac{1}{a^{2x}}$$

$a^{2x} = 5$ を代入して、

$$5 + 1 + \frac{1}{5} = 6 + \frac{1}{5}$$

$$= \frac{31}{5}$$

解説

指数を含む式の値を求める典型問題である。 解法1のように分母・分子に適切に $a^x$ 等を掛けて、既知の値である $a^{2x}$ の形を意図的に作り出す手法が最も汎用性が高い。 解法2の因数分解を利用する方法も、項がスッキリとまとまり計算ミスを減らせるため有効である。この際、厳密には約分をするために分母が $0$ にならないこと（$a^x - a^{-x} \neq 0$）を確認しておくのがよい。

答え

$$\frac{31}{5}$$