数学2 指数関数 問題 12 解説

方針・初手

指数に変数 $x$ を含む不等式（指数不等式）の問題である。両辺の底を同じ値にそろえ、指数の大小関係を比較するのが定石である。今回は底を $3$ に統一すると計算が容易になる。その際、底が $1$ より大きいか小さいかによって、不等号の向きがどうなるかに注意する。

解法1

与えられた不等式は以下の通りである。

$$9^x \geqq 3^{x+3}$$

左辺の底 $9$ は $9 = 3^2$ と表せるので、不等式は次のように変形できる。

$$(3^2)^x \geqq 3^{x+3}$$

指数法則 $(a^p)^q = a^{pq}$ を用いると、

$$3^{2x} \geqq 3^{x+3}$$

となる。ここで、底の $3$ は $1$ より大きい（$3 > 1$）ため、底を外しても指数の大小関係における不等号の向きは変わらない。したがって、

$$2x \geqq x + 3$$

が成り立つ。この一次不等式を解くと、

$$x \geqq 3$$

となる。

解法2

両辺とも正であるから、両辺を底が $3$ の対数にとる。底の $3$ は $1$ より大きいので、不等号の向きは変わらない。

$$\log_3 9^x \geqq \log_3 3^{x+3}$$

対数の性質 $\log_a M^p = p \log_a M$ より、

$$x \log_3 9 \geqq (x+3) \log_3 3$$

$\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$、$\log_3 3 = 1$ であるから、

$$2x \geqq x + 3$$

これを解いて、

$$x \geqq 3$$

となる。

解説

指数不等式の最も基本的な問題である。底をそろえることが第一歩となる。底を $a$ にそろえたとき、$a > 1$ ならば $a^p \geqq a^q \iff p \geqq q$ となり、不等号の向きはそのまま保存される。一方、$0 < a < 1$ ならば $a^p \geqq a^q \iff p \leqq q$ となり、不等号の向きが逆転する。この点さえ忘れなければ確実に正解できる。解法2のように対数をとる操作も、底の条件については全く同じである。

答え

$$x \geqq 3$$