数学2 指数関数 問題 13 解説

方針・初手

指数関数の底を $2$ に統一し、$2^x = t$ とおいて $t$ についての方程式に帰着させる。このとき、指数関数の性質から $t$ のとり得る値の範囲に制限がつくことに注意する。

解法1

与えられた方程式の各項の底を $2$ にそろえると

$$(2^3)^x - 3 \cdot (2^2)^x - 3 \cdot 2 \cdot 2^x + 8 = 0$$

$$(2^x)^3 - 3 \cdot (2^x)^2 - 6 \cdot 2^x + 8 = 0$$

と変形できる。

ここで、$2^x = t$ とおくと、$x$ は実数であるから $t > 0$ である。 方程式を $t$ を用いて表すと

$$t^3 - 3t^2 - 6t + 8 = 0$$

となる。左辺を因数分解するために因数定理を用いる。$P(t) = t^3 - 3t^2 - 6t + 8$ とおくと、$P(1) = 1 - 3 - 6 + 8 = 0$ であるから、$P(t)$ は $t-1$ を因数にもつ。 したがって

$$(t-1)(t^2 - 2t - 8) = 0$$

$$(t-1)(t-4)(t+2) = 0$$

これより、$t = 1, 4, -2$ を得る。

$t > 0$ の条件を満たすものは

$$t = 1, 4$$

である。

(i) $t = 1$ のとき

$$2^x = 1$$

より、$x = 0$ である。

(ii) $t = 4$ のとき

$$2^x = 4$$

$$2^x = 2^2$$

より、$x = 2$ である。

以上より、求める実数 $x$ の値は $x = 0, 2$ である。

解説

指数方程式の定石通りに解き進める標準的な問題である。底が $2, 4, 8$ となっているため、これらをすべて共通の底である $2$ に統一することが第一歩となる。 $2^x = t$ と置換した際、指数関数の値域から $t > 0$ という隠れた条件が発生することを決して忘れてはならない。この条件によって、3次方程式を解いて得られた $t$ の値のうち、負の値である $-2$ を除外する必要がある。ここでの吟味を怠ると、存在しない実数解（虚数解）を求めることになってしまう。 また、3次方程式の因数分解では因数定理を用いる。定数項の約数（$\pm 1, \pm 2, \dots$）を順に代入し、$0$ になる値を見つけるのが基本である。

答え

$0, 2$