数学2 指数関数 問題 15 解説

方針・初手

指数に変数 $x$ が含まれる方程式であるため、底を $2$ に揃え、$2^x = X$ とおくことで $X$ についての多項式の方程式（3次方程式）に帰着させる。置き換えを行った際は、新しい変数 $X$ のとりうる値の範囲に注意する。

解法1

与えられた方程式は

$$2^{3x} - 3 \cdot 2^{2x+1} = 5 \cdot 2^x - 30$$

である。指数法則 $2^{3x} = (2^x)^3$、$2^{2x+1} = 2 \cdot (2^x)^2$ を用いて変形すると、

$$(2^x)^3 - 6 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 30 = 0$$

となる。ここで、$2^x = X$ とおく。指数関数の性質より $X > 0$ である。このとき、方程式は

$$X^3 - 6X^2 - 5X + 30 = 0$$

となる。左辺を因数分解する。前2項と後ろ2項でそれぞれ共通因数をくくり出すと、

$$X^2(X - 6) - 5(X - 6) = 0$$

共通因数 $(X - 6)$ でくくって、

$$(X^2 - 5)(X - 6) = 0$$

したがって、$X^2 = 5$ または $X = 6$ となる。

$X > 0$ であるから、$X = \sqrt{5}, 6$ を得る。

(i) $X = \sqrt{5}$ のとき

$$2^x = \sqrt{5}$$

対数の定義より、

$$x = \log_2 \sqrt{5} = \log_2 5^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_2 5$$

(ii) $X = 6$ のとき

$$2^x = 6$$

対数の定義より、

$$x = \log_2 6$$

(i)、(ii) より、求める解は $x = \frac{1}{2} \log_2 5, \log_2 6$ である。

解説

指数方程式の典型的な解法である「$a^x = X$ とおく」手法を用いる問題である。置き換えた文字 $X$ の変域（$X > 0$）を意識することが重要である（本問では結果的に負の解は現れないが、不適な解を排除する場面で必須となる）。

また、得られた3次方程式 $X^3 - 6X^2 - 5X + 30 = 0$ の因数分解については、因数定理を用いて $X=6$ を見つける方法もあるが、本問のように $X^2$ で前2項をくくることで共通部分 $(X-6)$ を作り出す工夫に気づくと、計算量が少なく記述も簡潔になる。最後に求めた $x$ の値については、対数の性質を用いて整理しておくのが望ましい。

答え

$$x = \frac{1}{2} \log_2 5, \ \log_2 6$$