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数学2 指数関数問題 18 解説

方針・初手

指数関数の和の形をした関数を、対称式を利用して置き換える問題である。$2^x+2^{-x}$ を $t$ と置き、全体を $t$ の2次関数に帰着させる。変域の確認には相加平均と相乗平均の大小関係を用いる。

解法1

$t = 2^x + 2^{-x}$ の両辺を2乗すると、

$$t^2 = (2^x + 2^{-x})^2 = 2^{2x} + 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} + 2^{-2x} = 4^x + 2 + 4^{-x}$$

したがって、

$$4^x + 4^{-x} = t^2 - 2$$

これより、$y$ を $t$ を用いて表すと、

$$y = (4^x + 4^{-x}) + (2^x + 2^{-x}) = (t^2 - 2) + t = t^2 + t - 2$$

となる。

次に、$2^x > 0$ かつ $2^{-x} > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$t = 2^x + 2^{-x} \geqq 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = 2\sqrt{1} = 2$$

等号が成立するのは、$2^x = 2^{-x}$ のときである。

これを解くと、

$$2^{2x} = 1$$

$$2x = 0$$

$$x = 0$$

したがって、$t$ のとりうる値の範囲は $2 \leqq t$ である。

また、$y$ を平方完成すると、

$$y = \left(t + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{9}{4}$$

となる。

$t \geqq 2$ の範囲において、この関数は単調に増加する。

したがって、$y$ は $t = 2$ のとき最小となる。

$t = 2$ のとき、相加・相乗平均の等号成立条件より $x = 0$ であり、このとき最小値は

$$y = 2^2 + 2 - 2 = 4$$

である。

解説

指数関数の和 $a^x + a^{-x}$ を $t$ とおく典型問題である。ポイントは大きく2つある。1つ目は対称式の変形を用いて $a^{2x} + a^{-2x}$ を $t$ で表すこと、2つ目は置き換えた文字 $t$ の変域を相加・相乗平均の関係を用いて求めることである。二次関数の最大・最小を考える際は、頂点の位置と定義域の位置関係に注意する。