数学2 対数関数 問題 2 解説

方針・初手

対数不等式を解く基本手順に従う。まず最初に真数条件（真数 $> 0$）を確認し、$x$ の変域を絞り込む。その後、対数の性質を用いて左辺を1つの対数にまとめ、底 $a$ が $0 < a < 1$ であることに注意して真数同士の大小関係を比較する。

解法1

対数の真数は正であるから、

$$\begin{cases} x + 6 > 0 \\ x - 1 > 0 \\ 9x - 7 > 0 \end{cases}$$

が成り立つ。これを解くと、

$$\begin{cases} x > -6 \\ x > 1 \\ x > \frac{7}{9} \end{cases}$$

これらを同時に満たす $x$ の範囲は、

$$x > 1 \quad \cdots \text{①}$$

である。

次に、与えられた不等式を変形する。対数の性質より、左辺をまとめると、

$$\log_a (x+6)(x-1) > \log_a (9x-7)$$

となる。ここで、底 $a$ は $0 < a < 1$ であるから、不等号の向きが逆転し、

$$(x+6)(x-1) < 9x - 7$$

となる。これを展開して整理すると、

$$x^2 + 5x - 6 < 9x - 7$$

$$x^2 - 4x + 1 < 0$$

方程式 $x^2 - 4x + 1 = 0$ の解は $x = 2 \pm \sqrt{3}$ であるから、この2次不等式の解は、

$$2 - \sqrt{3} < x < 2 + \sqrt{3} \quad \cdots \text{②}$$

となる。

最後に、①と②の共通範囲を求める。ここで、$1 < \sqrt{3} < 2$ であるから $2 - \sqrt{3} < 1$ となり、共通範囲は、

$$1 < x < 2 + \sqrt{3}$$

となる。

解説

対数を含む方程式・不等式を解く際の鉄則は、「何よりも先に真数条件を確認すること」である。式を変形してから真数条件を考えると、元の式が持っていた条件を見落とす危険がある。また、底の大きさと不等号の向きの関係も頻出のひっかけポイントである。底が $1$ より大きい場合は不等号の向きはそのまま、底が $0$ より大きく $1$ より小さい場合は不等号の向きが逆転するという性質を確実に押さえておく必要がある。本問では問題文に $0 < a < 1$ と明記されているため、見落とさずに処理したい。

答え

$1 < x < 2 + \sqrt{3}$