数学2 対数関数 問題 4 解説

方針・初手

対数の底と真数をそれぞれ累乗の形で表し、対数の性質を用いて計算する。底の変換公式を用いて、扱いやすい整数（この場合は3や2）に底をそろえる方法も有効である。

解法1

対数の性質を用いて計算する。

第1項について、底 $\sqrt{3}$ と真数 $9$ はどちらも $3$ を底とする指数で表すことができる。

$$\log_{\sqrt{3}} 9 = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 3^2$$

ここで、対数の性質 $\log_{a^p} M^q = \frac{q}{p} \log_a M$ を用いると、

$$\log_{\sqrt{3}} 9 = \frac{2}{\frac{1}{2}} \log_3 3 = 4$$

となる。

第2項について、真数 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ は底 $\sqrt{2}$ の逆数であるから、

$$\log_{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \log_{\sqrt{2}} (\sqrt{2})^{-1} = -1$$

となる。

したがって、求める値は、

$$\log_{\sqrt{3}} 9 + \log_{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 4 + (-1) = 3$$

である。

解法2

底の変換公式を用いる。

第1項について、底を $3$ に変換すると、

$$\log_{\sqrt{3}} 9 = \frac{\log_3 9}{\log_3 \sqrt{3}}$$

$$= \frac{\log_3 3^2}{\log_3 3^{\frac{1}{2}}}$$

$$= \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4$$

となる。

第2項について、底を $2$ に変換すると、

$$\log_{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\log_2 \frac{1}{\sqrt{2}}}{\log_2 \sqrt{2}}$$

$$= \frac{\log_2 2^{-\frac{1}{2}}}{\log_2 2^{\frac{1}{2}}}$$

$$= \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = -1$$

となる。

したがって、求める値は、

$$4 + (-1) = 3$$

である。

解説

対数の基本的な計算問題である。 底や真数に累乗根や分数が含まれる場合は、それらを素数の累乗（$a^r$ の形）に直すのが定石である。その上で、底の変換公式を用いて底を統一するか、対数の性質を利用して式を簡略化する。 特に $\log_{a^p} a^q = \frac{q}{p}$ となる性質は、底の変換公式から直ちに導かれるものであり、頻出の計算手法として使いこなせるようにしておきたい。

答え

3