数学2 対数関数 問題 5 解説

方針・初手

等式 $2^x = 5^y = 10^z$ から文字 $x, y, z$ の関係式を導き、求める式 $xy - yz - zx$ の値を計算する。 方針としては主に以下の2つが考えられる。

1. 各辺の値を $= k$ とおき、$2, 5, 10$ を $k$ の累乗で表して $2 \times 5 = 10$ の関係を利用する。
2. 各辺の底が10の対数（常用対数）をとり、$\log_{10} 5 = 1 - \log_{10} 2$ を用いて関係式を導く。

いずれの場合も、与えられた条件 $x \neq 0$ から他の文字も $0$ でないことを確認し、分数式や除算を安全に行えるようにすることが重要である。

解法1

$$2^x = 5^y = 10^z = k \quad (k > 0)$$

とおく。 $x \neq 0$ であるから $k = 2^x \neq 2^0 = 1$ である。 したがって、$k \neq 1$ である。 これより、$5^y \neq 1$, $10^z \neq 1$ となるから、$y \neq 0$, $z \neq 0$ である。

各等式から以下の関係が成り立つ。

$$2 = k^{\frac{1}{x}}$$

$$5 = k^{\frac{1}{y}}$$

$$10 = k^{\frac{1}{z}}$$

ここで、$2 \times 5 = 10$ であるから、上の式を代入して

$$k^{\frac{1}{x}} \times k^{\frac{1}{y}} = k^{\frac{1}{z}}$$

指数法則より

$$k^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = k^{\frac{1}{z}}$$

$k > 0$ かつ $k \neq 1$ であるから、両辺の指数を比較して

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$$

両辺に $xyz$ （$xyz \neq 0$ である）を掛けると

$$yz + xz = xy$$

式を整理して

$$xy - yz - zx = 0$$

解法2

$2^x = 5^y = 10^z > 0$ であるから、各辺の底を10とする対数をとると

$$\log_{10} 2^x = \log_{10} 5^y = \log_{10} 10^z$$

$$x \log_{10} 2 = y \log_{10} 5 = z$$

条件より $x \neq 0$ であるから、$z = x \log_{10} 2 \neq 0$ である。 また、$y \log_{10} 5 = z \neq 0$ より $y \neq 0$ である。

$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = 1 - \log_{10} 2$ であるから、上の連立等式は以下のように書ける。

$$x \log_{10} 2 = y (1 - \log_{10} 2) = z$$

$x \log_{10} 2 = z$ より

$$\log_{10} 2 = \frac{z}{x}$$

これを $y (1 - \log_{10} 2) = z$ に代入すると

$$y \left( 1 - \frac{z}{x} \right) = z$$

両辺に $x$ を掛けると

$$y (x - z) = zx$$

展開して整理すると

$$xy - yz = zx$$

$$xy - yz - zx = 0$$

解説

$A=B=C$ の形をした指数方程式では、解法1のように全体を $=k$ とおいて各々の文字について解く（$2 = k^{\frac{1}{x}}$ など）手法が非常に有効である。これにより、底の間の関係式（今回は $2 \times 5 = 10$）を利用して指数部分の関係式を引き出すことができる。

また、解法2のように対数をとる解法も定石である。この場合、$\log_{10} 5 = 1 - \log_{10} 2$ という常用対数における必須の変形を用いることで、文字同士の等式を導くことができる。

求める式 $xy - yz - zx$ を $xyz \left( \frac{1}{z} - \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right)$ と見ることで、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{z}$ を示せばよいと気づくことができれば、解法1のアプローチがより自然に導かれるだろう。

答え

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