数学2 対数関数 問題 6 解説

方針・初手

対数方程式の問題である。まずは対数の真数条件を確認する。その後、底の変換公式を用いて、すべての対数の底を $2$ に統一し、$\log_2 x = t$ とおいて $t$ の2次方程式に帰着させる。

解法1

対数の真数は正であるから、

$$x > 0$$

である。

与えられた方程式の対数の底を $2$ に変換すると、

$$\log_8 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 8} = \frac{\log_2 x}{3}$$

$$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$$

これらを元の方程式に代入すると、

$$(\log_2 x) \left( \frac{\log_2 x}{3} \right) + \frac{\log_2 x}{2} + \frac{1}{6} = 0$$

となる。ここで、$t = \log_2 x$ とおくと、方程式は次のように表される。

$$\frac{1}{3} t^2 + \frac{1}{2} t + \frac{1}{6} = 0$$

両辺に $6$ を掛けて分母を払うと、

$$2t^2 + 3t + 1 = 0$$

左辺を因数分解して、

$$(2t + 1)(t + 1) = 0$$

これより、$t$ の値は、

$$t = -\frac{1}{2}, -1$$

$t = \log_2 x$ であるから、

$t = -\frac{1}{2}$ のとき

$$\log_2 x = -\frac{1}{2}$$

$$x = 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$t = -1$ のとき

$$\log_2 x = -1$$

$$x = 2^{-1} = \frac{1}{2}$$

これらはともに真数条件 $x > 0$ を満たす。

解説

対数方程式を解く際の基本手順である「真数条件の確認」と「底の統一」を忠実に実行すれば解くことができる典型的な問題である。底は最小の素数である $2$ に揃えるのが計算しやすい。方程式を解いた後、得られた解が最初に確認した真数条件を満たしているかの確認を忘れないようにすること。

答え

$x = \frac{1}{2}$

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$