数学2 対数関数 問題 7 解説

方針・初手

等式 $y^{\log_2 x} = 4$ の両辺の底 $2$ の対数をとることで、$X = \log_2 x$、$Y = \log_2 y$ についての関係式を導く。これにより、求める式 $xy^2$ の対数 $\log_2 (xy^2)$ のとりうる値の範囲を求める問題に帰着させる。

解法1

$x > 0, y > 0$ であり、$y^{\log_2 x} = 4$ の両辺は正であるから、底を $2$ とする対数をとると

$$\log_2 (y^{\log_2 x}) = \log_2 4$$

$$(\log_2 x)(\log_2 y) = 2$$

ここで、$X = \log_2 x$、$Y = \log_2 y$ とおくと、$x > 0, y > 0$ より $X, Y$ はすべての実数値をとる。与えられた条件は

$$XY = 2 \quad \cdots \text{①}$$

となる。また、求める式の底 $2$ の対数をとると

$$\log_2 (xy^2) = \log_2 x + 2\log_2 y = X + 2Y$$

となる。これを $K$ とおくと

$$X + 2Y = K \quad \cdots \text{②}$$

①、②をともに満たす実数 $X, Y$ が存在するような $K$ の範囲を求めればよい。②より $2Y = K - X$ であるから、①に代入して

$$X \cdot \frac{K - X}{2} = 2$$

$$X^2 - KX + 4 = 0 \quad \cdots \text{③}$$

$X$ は実数であるから、③が実数解をもつための条件は、③の判別式を $D$ とすると $D \geqq 0$ である。

$$D = (-K)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = K^2 - 16 \geqq 0$$

これより

$$(K + 4)(K - 4) \geqq 0$$

$$K \leqq -4, \quad 4 \leqq K$$

なお、$K \leqq -4, 4 \leqq K$ のとき③の実数解 $X$ に対して $X \neq 0$ となり（もし $X=0$ なら $4=0$ となり不適）、$Y = \frac{K-X}{2}$ も実数として存在する。 $K = \log_2 (xy^2)$ より

$$\log_2 (xy^2) \leqq -4, \quad 4 \leqq \log_2 (xy^2)$$

底 $2$ は $1$ より大きいから

$$xy^2 \leqq 2^{-4}, \quad 2^4 \leqq xy^2$$

また、$x > 0, y > 0$ より $xy^2 > 0$ であるから、求める範囲は

$$0 < xy^2 \leqq \frac{1}{16}, \quad 16 \leqq xy^2$$

解法2

解法1と同様にして $X = \log_2 x$、$Y = \log_2 y$ とおき、$XY = 2$ のもとで $K = X + 2Y$ のとりうる値の範囲を求める。 $XY = 2$ より $X \neq 0$ であり、$Y = \frac{2}{X}$ である。これを $K$ の式に代入すると

$$K = X + \frac{4}{X}$$

(i) $X > 0$ のとき

$X > 0$ かつ $\frac{4}{X} > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より

$$K = X + \frac{4}{X} \geqq 2\sqrt{X \cdot \frac{4}{X}} = 4$$

等号は $X = \frac{4}{X}$、すなわち $X^2 = 4$ で、 $X > 0$ より $X = 2$ のとき成立する。また $X \to +0$ および $X \to \infty$ のとき $K \to \infty$ となるので、$K$ のとりうる値の範囲は $K \geqq 4$ である。

(ii) $X < 0$ のとき

$-X > 0$ かつ $-\frac{4}{X} > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より

$$-K = (-X) + \left(-\frac{4}{X}\right) \geqq 2\sqrt{(-X) \cdot \left(-\frac{4}{X}\right)} = 4$$

両辺に $-1$ を掛けて $K \leqq -4$ を得る。等号は $-X = -\frac{4}{X}$、すなわち $X^2 = 4$ で、$X < 0$ より $X = -2$ のとき成立する。また $X \to -0$ および $X \to -\infty$ のとき $K \to -\infty$ となるので、$K$ のとりうる値の範囲は $K \leqq -4$ である。

(i), (ii) より、$K$ のとりうる値の範囲は

$$K \leqq -4, \quad 4 \leqq K$$

すなわち

$$\log_2 (xy^2) \leqq -4, \quad 4 \leqq \log_2 (xy^2)$$

底 $2$ は $1$ より大きく、$xy^2 > 0$ であることに注意して

$$0 < xy^2 \leqq \frac{1}{16}, \quad 16 \leqq xy^2$$

解説

累乗の指数部分に対数が含まれている方程式・不等式や最大最小問題では、両辺の対数をとる操作が定石である。対数をとることで、変数の積が和に変換され、見慣れた2次方程式や相加相乗平均の問題に帰着できる。 本問では底を $2$ とする対数をとり、$X, Y$ についての連立方程式とみなして「実数解をもつ条件（判別式 $D \geqq 0$）」を利用する解法（解法1）が最も計算ミスが少なく簡明である。解法2のように相加相乗平均を用いる場合は、$X$ の正負による場合分けを忘れないように注意したい。また、最終的な答えで $0 < xy^2$ の範囲を落とさないよう、真数条件や指数関数の値域について常に意識しておく必要がある。

答え

$0 < xy^2 \leqq \frac{1}{16}, \quad 16 \leqq xy^2$