数学2 対数関数 問題 8 解説

方針・初手

与えられた対数の真数である $1.4$ と $3.5$、および求める対数の真数である $7$ の関係に注目する。真数を分数に直して素因数分解するか、真数どうしの積を考えることで、$\log_{10} 2$ や $\log_{10} 5$ などの項が現れる。常用対数における $\log_{10} 2 + \log_{10} 5 = 1$ の関係式を利用して不要な項を消去し、$\log_{10} 7$ を導出する。

解法1

真数の積に注目する。 与えられた対数の和を計算すると、

$$\begin{aligned} a + b &= \log_{10} 1.4 + \log_{10} 3.5 \\ &= \log_{10} (1.4 \times 3.5) \\ &= \log_{10} 4.9 \end{aligned}$$

となる。ここで、$4.9 = \frac{49}{10} = \frac{7^2}{10}$ であるから、

$$\begin{aligned} a + b &= \log_{10} \frac{7^2}{10} \\ &= \log_{10} 7^2 - \log_{10} 10 \\ &= 2\log_{10} 7 - 1 \end{aligned}$$

と変形できる。これを $\log_{10} 7$ について解くと、

$$2\log_{10} 7 = a + b + 1$$

$$\log_{10} 7 = \frac{a + b + 1}{2}$$

を得る。

解法2

与えられた対数の真数を分数に直し、素因数分解を利用して分解する。

$$\begin{aligned} a &= \log_{10} 1.4 = \log_{10} \frac{14}{10} = \log_{10} \frac{7}{5} \\ &= \log_{10} 7 - \log_{10} 5 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} b &= \log_{10} 3.5 = \log_{10} \frac{35}{10} = \log_{10} \frac{7}{2} \\ &= \log_{10} 7 - \log_{10} 2 \end{aligned}$$

ここで、常用対数における基本的な性質 $\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = 1 - \log_{10} 2$ を用いると、$a$ は以下のように表せる。

$$\begin{aligned} a &= \log_{10} 7 - (1 - \log_{10} 2) \\ &= \log_{10} 7 + \log_{10} 2 - 1 \quad \cdots \text{(1)} \end{aligned}$$

また、$b$ は、

$$b = \log_{10} 7 - \log_{10} 2 \quad \cdots \text{(2)}$$

である。

(1) と (2) の辺々を足し合わせることで、$\log_{10} 2$ を消去する。

$$a + b = 2\log_{10} 7 - 1$$

これを $\log_{10} 7$ について解くと、

$$2\log_{10} 7 = a + b + 1$$

$$\log_{10} 7 = \frac{a + b + 1}{2}$$

となる。

解説

常用対数の式の値を変形する標準的な問題である。真数が小数で与えられた場合は、分数に直して考えるのが定石である。

本問では、解法2のように素因数（$2, 5, 7$）に分解して連立方程式のように解く方法が汎用性が高い。一方で、真数の特徴に気づき、$1.4 \times 3.5 = 4.9$ と計算する解法1は、見通しが良く計算量も少なくなるため、鮮やかな解法と言える。

また、常用対数における $\log_{10} 2$ と $\log_{10} 5$ の関係式 $\log_{10} 5 = 1 - \log_{10} 2$ は頻出であるため、すぐに引き出せるようにしておくこと。

答え

$\frac{a + b + 1}{2}$