数学2 対数関数 問題 9 解説

方針・初手

指数部分に対数が含まれる方程式では、両辺の対数をとるのが定石である。まずは対数の真数条件を確認し、$x$ のとりうる値の範囲を定める。その後、問題の指数に含まれる対数の底に合わせて、両辺の底を $8$（または $2$）とする対数をとり、方程式を $\log_8 x$（または $\log_2 x$）についての2次方程式に帰着させる。

解法1

対数の真数条件より、

$$x > 0$$

である。このとき、与えられた方程式 $x^{\log_8 x} = 64x$ の両辺は正である。

両辺を底 $8$ とする対数をとると、

$$\log_8 \left( x^{\log_8 x} \right) = \log_8 (64x)$$

対数の性質より指数を前に出して整理すると、

$$(\log_8 x)(\log_8 x) = \log_8 64 + \log_8 x$$

$$(\log_8 x)^2 = 2 + \log_8 x$$

$$(\log_8 x)^2 - \log_8 x - 2 = 0$$

ここで、$t = \log_8 x$ とおくと、方程式は次のように表される。

$$t^2 - t - 2 = 0$$

$$(t - 2)(t + 1) = 0$$

よって、$t = 2, -1$ である。

$t = 2$ のとき、

$$\log_8 x = 2$$

$$x = 8^2 = 64$$

$t = -1$ のとき、

$$\log_8 x = -1$$

$$x = 8^{-1} = \frac{1}{8}$$

これらはともに真数条件 $x > 0$ を満たす。

解法2

対数の真数条件より、$x > 0$ である。両辺の底を $2$ とする対数をとると、

$$\log_2 \left( x^{\log_8 x} \right) = \log_2 (64x)$$

$$(\log_8 x)(\log_2 x) = \log_2 64 + \log_2 x$$

底の変換公式より $\log_8 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 8} = \frac{1}{3}\log_2 x$ であるから、これを代入すると、

$$\left( \frac{1}{3}\log_2 x \right)(\log_2 x) = 6 + \log_2 x$$

$$\frac{1}{3}(\log_2 x)^2 - \log_2 x - 6 = 0$$

両辺を $3$ 倍して整理すると、

$$(\log_2 x)^2 - 3\log_2 x - 18 = 0$$

$$(\log_2 x - 6)(\log_2 x + 3) = 0$$

よって、$\log_2 x = 6, -3$ である。

$\log_2 x = 6$ のとき、

$$x = 2^6 = 64$$

$\log_2 x = -3$ のとき、

$$x = 2^{-3} = \frac{1}{8}$$

これらはともに真数条件 $x > 0$ を満たす。

解説

指数に関数を含む方程式を解く際の典型的な問題である。両辺の対数をとることで、指数部分を積の形に下ろすことができ、扱いやすい多項式の方程式（今回は2次方程式）に帰着させることができる。

対数を扱う上で最も注意すべき点は、変形を行う前に「真数条件（および底の条件）」を必ず確認することである。これを忘れると、不適な解を排除できなくなる恐れがある。

対数をとる際の底の選び方については、問題文にある対数の底（本問では $8$）を選ぶと最も計算が簡潔になることが多いが、素数（本問では $2$）を底に選んで底の変換公式を用いても、全く問題なく解き進めることができる。

答え

$x = 64$

$x = \frac{1}{8}$