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数学2 対数関数問題 12 解説

方針・初手

与えられた等式は、自然数 $m, n$ と $0 < a < 1$ を用いて、実数 $\log_2 6$ を連分数のように表現していると見ることができる。$0 < \frac{1}{n+a} < 1$ となることに着目し、$m$ は $\log_2 6$ の整数部分、$\frac{1}{n+a}$ は小数部分であると捉える。さらに残った部分から $n, a$ の関係式を導き、同様の評価を行って $n$ を決定する。

解法1

(1)

与えられた等式は

$$\log_2 6 = m + \frac{1}{n+a}$$

ここで、$m, n$ は自然数、$0 < a < 1$ であるから、$n+a > 1$ であり、

$$0 < \frac{1}{n+a} < 1$$

が成り立つ。したがって、$m$ は実数 $\log_2 6$ の整数部分である。 $2 < 3 < 4$ より、底が $2$ (>1) の対数をとると $\log_2 2 < \log_2 3 < \log_2 4$ すなわち $1 < \log_2 3 < 2$ であるから、

$$\log_2 6 = \log_2 (2 \cdot 3) = 1 + \log_2 3$$

より、$2 < \log_2 6 < 3$ となる。ゆえに、

$$m = 2$$

これを元の等式に代入すると、

$$\log_2 6 = 2 + \frac{1}{n+a}$$

$$\log_2 6 - 2 = \frac{1}{n+a}$$

$$\log_2 \frac{6}{4} = \frac{1}{n+a}$$

$$\log_2 \frac{3}{2} = \frac{1}{n+a}$$

両辺の逆数をとって、

$$n+a = \frac{1}{\log_2 \frac{3}{2}} = \log_{\frac{3}{2}} 2$$

$n$ は自然数、$0 < a < 1$ であるから、$n$ は $\log_{\frac{3}{2}} 2$ の整数部分である。ここで、$\frac{3}{2} < 2$ より底が $\frac{3}{2}$ (>1) の対数をとって $\log_{\frac{3}{2}} \frac{3}{2} < \log_{\frac{3}{2}} 2$ すなわち $1 < \log_{\frac{3}{2}} 2$ である。また、$\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4} = 2.25 > 2$ より $\log_{\frac{3}{2}} 2 < \log_{\frac{3}{2}} \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 2$ である。したがって、$1 < \log_{\frac{3}{2}} 2 < 2$ となるので、

$$n = 1$$

(2)

(1) の結果より、$1+a = \log_{\frac{3}{2}} 2$ であるから、

$$a = \log_{\frac{3}{2}} 2 - 1 = \log_{\frac{3}{2}} 2 - \log_{\frac{3}{2}} \frac{3}{2} = \log_{\frac{3}{2}} \frac{4}{3}$$

示すべき不等式 $a > \frac{2}{3}$ は、

$$\log_{\frac{3}{2}} \frac{4}{3} > \frac{2}{3}$$

と同値である。底 $\frac{3}{2}$ は $1$ より大きいから、この不等式は真数に関する不等式

$$\frac{4}{3} > \left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{2}{3}}$$

と同値である。両辺は正であるから、両辺を $3$ 乗した不等式

$$\left(\frac{4}{3}\right)^3 > \left(\frac{3}{2}\right)^2$$

と同値である。ここで、両辺の値をそれぞれ計算すると、

$$\left(\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{64}{27}$$

$$\left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$$

これらの大小を比較するために差をとると、

$$\frac{64}{27} - \frac{9}{4} = \frac{256 - 243}{108} = \frac{13}{108} > 0$$

したがって、$\left(\frac{4}{3}\right)^3 > \left(\frac{3}{2}\right)^2$ は成り立つ。同値変形を遡ることにより、不等式 $a > \frac{2}{3}$ が成り立つことが示された。

解説

実数の連分数展開の考え方を背景とする問題である。与えられた数を「整数部分」と「小数部分」に分け、小数部分の逆数をとる操作を繰り返すことで、$m, n$ を順次求めていくことができる。対数の値の評価において、$\log_a b$ の大小は、底を揃えて真数を比較することで行える。(2) のような対数や累乗根を含む不等式の証明では、同値変形によって両辺を自然数乗しやすい形に直すのが定石である。