数学2 対数関数 問題 13 解説

方針・初手

真数条件を確認したのち、対数の底を $2$ に統一する。さらに、真数の積や商を対数の和や差に分解し、$\log_2 x$ についての2次不等式に帰着させる。

解法1

対数の真数は正であるから、

$$2x > 0 \quad \text{かつ} \quad \frac{4}{x} > 0$$

これを満たす $x$ の範囲は $x > 0$ である。

与えられた不等式の左辺の各因数を、底を $2$ にそろえて変形する。

$$\log_2 2x = \log_2 2 + \log_2 x = 1 + \log_2 x$$

$$\log_{\frac{1}{2}} \frac{4}{x} = \frac{\log_2 \frac{4}{x}}{\log_2 \frac{1}{2}} = \frac{\log_2 4 - \log_2 x}{-1} = - (2 - \log_2 x) = \log_2 x - 2$$

これらを元の不等式に代入すると、

$$(1 + \log_2 x)(\log_2 x - 2) \leqq 4$$

となる。ここで $t = \log_2 x$ とおくと、

$$(1 + t)(t - 2) \leqq 4$$

展開して整理すると、

$$t^2 - t - 2 \leqq 4$$

$$t^2 - t - 6 \leqq 0$$

$$(t + 2)(t - 3) \leqq 0$$

よって、

$$-2 \leqq t \leqq 3$$

すなわち、

$$-2 \leqq \log_2 x \leqq 3$$

$$\log_2 2^{-2} \leqq \log_2 x \leqq \log_2 2^3$$

底 $2$ は $1$ より大きいから、大小関係は保存され、

$$2^{-2} \leqq x \leqq 2^3$$

$$\frac{1}{4} \leqq x \leqq 8$$

これは真数条件 $x > 0$ を満たす。

解説

対数不等式の基本的な解法である。以下の手順を正確に踏むことが重要である。

1. 真数条件の確認：対数を含んだ式を扱う際、真っ先に真数が正である条件を記述する。
2. 底の変換と分解：対数の公式を用いて $\log_2 x$ の式を作り出す。底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ などが不可欠である。
3. 置換と2次不等式の解法：$\log_2 x = t$ とおくことで、見慣れた2次不等式に帰着できる。
4. 底の大きさに注意：$\log_a x$ の不等式を解く際、底 $a$ が $a>1$ ならば不等号の向きはそのまま、$0<a<1$ ならば不等号の向きが反転することに注意する。本問では底を $2$ としたので、そのまま大小を比較すればよい。

答え

$$\frac{1}{4} \leqq x \leqq 8$$