数学2 対数関数 問題 15 解説

方針・初手

対数不等式を解く際の基本である、真数条件の確認を最初に行う。その後、対数の性質を用いて式を整理し、底が $1$ より小さいことに注意して真数の大小関係を比較して $2$ 次不等式に帰着させる。

解法1

対数の真数は正であるから、

$$n+3>0 \quad \text{かつ} \quad n-1>0$$

すなわち、

$$n>1$$

を満たす必要がある。

与えられた不等式を変形すると、

$$\log_{\frac{1}{2}} (n+3)(n-1) > \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^{-5}$$

$$\log_{\frac{1}{2}} (n^2+2n-3) > \log_{\frac{1}{2}} 32$$

底である $\frac{1}{2}$ は $1$ より小さいので、真数を比較する際、不等号の向きは逆転する。

$$n^2+2n-3 < 32$$

$$n^2+2n-35 < 0$$

$$(n+7)(n-5) < 0$$

これを解いて、

$$-7 < n < 5$$

真数条件 $n>1$ と合わせると、

$$1 < n < 5$$

これを満たす整数 $n$ は、$n=2, 3, 4$ である。

したがって、求める整数 $n$ の最大値は $4$、最小値は $2$ である。

解説

対数方程式・不等式において最も忘れやすいのが「真数条件」である。いかなる変形よりも先に真数条件を書き出し、確保しておくことが鉄則である。また、不等式を解く際、底が $0 < a < 1$ の場合は真数を比較するときに不等号の向きが反転することに注意が必要である。計算自体は基本的な $2$ 次不等式に帰着するため、確実に得点したい問題である。

答え

[オ] 4

[カ] 2