数学2 対数関数 問題 16 解説

方針・初手

対数の計算において、異なる底が混在している場合は、底の変換公式を用いて底を統一することが基本である。本問では $\log_2 7 = a$ が与えられているため、底を $2$ に揃える方針をとる。

解法1

条件より $b = \log_3 7$ である。真数が $7 \neq 1$ であるから $b \neq 0$ である。

底の変換公式を用いて $\log_3 7$ の底を $2$ に変換すると、

$$\log_3 7 = \frac{\log_2 7}{\log_2 3}$$

となる。これに $\log_2 7 = a$, $\log_3 7 = b$ を代入すると、

$$b = \frac{a}{\log_2 3}$$

$b \neq 0$ であるから、両辺を変形して、

$$\log_2 3 = \frac{a}{b}$$

を得る。

次に、$\log_{48} 72$ の値を求める。同様に底の変換公式を用いて底を $2$ に変換し、真数を素因数分解する。

$$\begin{aligned} \log_{48} 72 &= \frac{\log_2 72}{\log_2 48} \\ &= \frac{\log_2 (2^3 \cdot 3^2)}{\log_2 (2^4 \cdot 3)} \\ &= \frac{\log_2 2^3 + \log_2 3^2}{\log_2 2^4 + \log_2 3} \\ &= \frac{3 + 2\log_2 3}{4 + \log_2 3} \end{aligned}$$

この式に先ほど求めた $\log_2 3 = \frac{a}{b}$ を代入する。

$$\begin{aligned} \frac{3 + 2 \cdot \frac{a}{b}}{4 + \frac{a}{b}} &= \frac{\frac{3b + 2a}{b}}{\frac{4b + a}{b}} \\ &= \frac{2a + 3b}{a + 4b} \end{aligned}$$

解説

対数の式の値を求める典型的な問題である。「底が異なる対数が複数ある場合は、底の変換公式を使ってどれか1つの底に統一する」という定石に従えば難なく解くことができる。

今回は与条件の一つが底を $2$ としていたため、すべての対数の底を $2$ に揃えるのが最も自然な発想である。また、分母・分子に分数が含まれる繁分数式を整理する際、分母と分子の両方に $b$ を掛けることでスムーズに計算が進む。

答え

$\log_2 3 = \frac{a}{b}$

$\log_{48} 72 = \frac{2a + 3b}{a + 4b}$