数学2 対数関数 問題 17 解説

方針・初手

与えられた等式をそれぞれの文字について解くか、指数法則を用いて求める式の形を作り出す。対数を用いて $x, y, z$ を直接表現し、底の変換公式を利用して計算する方針と、指数法則を利用して $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ を乗算の形に持ち込む方針の2つが考えられる。

解法1

与えられた条件式を対数を用いて表す。$8^x = 30, 27^y = 30, 125^z = 30$ について、それぞれ対数の定義から以下のように変形できる。

$$x = \log_8 30$$

$$y = \log_{27} 30$$

$$z = \log_{125} 30$$

ここで、底の変換公式により、底を $30$ にそろえると以下のようになる。

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{\log_8 30} = \log_{30} 8$$

$$\frac{1}{y} = \frac{1}{\log_{27} 30} = \log_{30} 27$$

$$\frac{1}{z} = \frac{1}{\log_{125} 30} = \log_{30} 125$$

これらを足し合わせると、対数の性質から真数の掛け算になる。

$$\begin{aligned} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} &= \log_{30} 8 + \log_{30} 27 + \log_{30} 125 \\ &= \log_{30} (8 \times 27 \times 125) \end{aligned}$$

真数を計算する。

$$8 \times 27 \times 125 = 2^3 \times 3^3 \times 5^3 = (2 \times 3 \times 5)^3 = 30^3$$

これを元の式に代入する。

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \log_{30} 30^3 = 3$$

解法2

与えられた条件 $8^x = 30, 27^y = 30, 125^z = 30$ において、$30 \neq 1$ であるから $x \neq 0, y \neq 0, z \neq 0$ である。各式の両辺をそれぞれ $\frac{1}{x}$ 乗、 $\frac{1}{y}$ 乗、 $\frac{1}{z}$ 乗する。

$$8 = 30^{\frac{1}{x}}$$

$$27 = 30^{\frac{1}{y}}$$

$$125 = 30^{\frac{1}{z}}$$

これら3つの式の辺々を掛け合わせる。

$$8 \times 27 \times 125 = 30^{\frac{1}{x}} \times 30^{\frac{1}{y}} \times 30^{\frac{1}{z}}$$

左辺は $(2 \times 3 \times 5)^3 = 30^3$ となる。右辺は指数法則 $a^p \times a^q = a^{p+q}$ より、$30^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}$ となる。

したがって、以下の等式が成り立つ。

$$30^3 = 30^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}}$$

底が $30$ であり、$30 > 0, 30 \neq 1$ であるから、両辺の指数を比較して次を得る。

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 3$$

解説

指数と対数の相互変換、およびそれぞれの基本的な計算法則を問う標準的な問題である。

対数を用いる解法（解法1）では、「求めたい形が $\frac{1}{x}$ である」ことに着目し、$x = \log_a b$ から $\frac{1}{x} = \log_b a$ への変形（底の変換公式の応用）を思いつけるかが鍵となる。底が全て $30$ に揃うため、あとは対数の加算を真数の乗算にするだけで容易に計算できる。

指数法則を用いる解法（解法2）は、式変形の見通しが立てやすく、対数を経由しない分だけ記述がシンプルになるという利点がある。「足し算を指数の掛け算から生み出す」という発想は、入試数学において頻出のテクニックであるため習得しておきたい。

答え

$$3$$