数学2 対数関数 問題 18 解説

方針・初手

対数方程式を解く際の鉄則である「真数条件」の確認を最初に行う。その後、対数の性質を用いて対数をまとめ、真数同士の比較に持ち込む。方程式を変形する際は、分数が現れるのを避けるため、引き算を移行して足し算の形にすると計算の見通しが良くなる。

解法1

対数の真数は正であるから、

$$x^2+x-6 > 0$$

かつ

$$x > 0$$

が成り立つ。 第1の不等式を解くと、$(x+3)(x-2) > 0$ より、

$$x < -3 \text{ または } x > 2$$

となる。これと $x > 0$ の共通範囲をとって、真数条件は

$$x > 2 \quad \cdots \text{①}$$

となる。

次に、与えられた方程式を変形する。$-\log_2 x$ を右辺に移項して、

$$\log_2(x^2+x-6) = \log_2 x + 1$$

$1 = \log_2 2$ であり、対数の性質 $\log_a M + \log_a N = \log_a (MN)$ を用いると、右辺は

$$\log_2 x + \log_2 2 = \log_2(2x)$$

となる。したがって、方程式は

$$\log_2(x^2+x-6) = \log_2(2x)$$

となる。底は等しいので、真数同士を比較して、

$$x^2+x-6 = 2x$$

整理すると、

$$x^2-x-6 = 0$$

これを因数分解して、

$$(x-3)(x+2) = 0$$

よって、$x = 3, -2$ を得る。

ここで、真数条件①（$x > 2$）を満たすかどうかを確認すると、適するのは $x = 3$ のみである。

解説

対数方程式・対数不等式において、もっとも忘れやすいのが「真数条件」の確認である。方程式を変形する前に、必ず与えられた式に現れるすべての真数が正であるという条件を立式し、その共通範囲を求めておくことが重要である。

また、与式のまま $\log_2 \frac{x^2+x-6}{x} = 1$ と変形して解くことも可能であるが、分母に文字を含む分数式が現れるため計算ミスを誘発しやすい。本解法のように移項して和の形にすることで、多項式として処理しやすくなる。

答え

$x = 3$