数学2 対数関数 問題 19 解説

方針・初手

与えられた等式 $xy = 10^6$ の両辺の常用対数をとり、$\log_{10} x$ と $\log_{10} y$ の関係式を導く。また、$x$ の変域から $\log_{10} x$ のとり得る値の範囲を求め、求める式を $\log_{10} x$ のみの1変数の2次関数として立式する。

解法1

$xy = 10^6$ の両辺の底を $10$ とする対数をとると、

$$\log_{10} (xy) = \log_{10} 10^6$$

対数の性質より、

$$\log_{10} x + \log_{10} y = 6$$

$$\log_{10} y = 6 - \log_{10} x$$

となる。ここで、$X = \log_{10} x$ とおく。

$x$ の変域は $10 \leqq x \leqq 1000$ であり、底 $10$ は $1$ より大きいため、各辺の常用対数をとると、

$$\log_{10} 10 \leqq \log_{10} x \leqq \log_{10} 10^3$$

$$1 \leqq X \leqq 3$$

となる。

次に、求める式 $(\log_{10} x)(\log_{10} y)$ を $X$ を用いて表し、これを $f(X)$ とおく。$\log_{10} y = 6 - X$ であるから、

$$\begin{aligned} f(X) &= X(6 - X) \\ &= -X^2 + 6X \\ &= -(X - 3)^2 + 9 \end{aligned}$$

となる。

$X$ の変域は $1 \leqq X \leqq 3$ である。 2次関数 $y = f(X)$ のグラフは上に凸であり、軸の方程式は $X = 3$ である。 この変域において $f(X)$ は、$X = 1$ から $X = 3$ に向かって単調に増加する。

したがって、$f(X)$ は、 $X = 3$ のとき、最大値 $9$ をとり、 $X = 1$ のとき、最小値 $-(1 - 3)^2 + 9 = 5$ をとる。

よって、最大値と最小値の差は、

$$9 - 5 = 4$$

である。

解説

対数の積 $(\log_{10} x)(\log_{10} y)$ の最大・最小を求める典型問題である。対数の積はそのままでは計算が難しいため、与えられた条件式 $xy = 10^6$ の両辺の対数をとり、和の形 $\log_{10} x + \log_{10} y = 6$ に変換して1文字を消去する手法が定石である。文字を置き換えた際（今回は $X = \log_{10} x$）には、必ず新しい文字の定義域を確認することが重要である。

答え

4