数学2 対数関数 問題 20 解説

方針・初手

対数の底をそろえることから始める。底の変換公式を用いて、底を $a$ に統一する。真数の比較により $y$ を $x$ の式で表し、その後は $x$ の2次関数の最大値問題に帰着させる。

解法1

(1)

与えられた等式は $\log_{\sqrt{a}} x = 1 + \log_a y$ である。 底の変換公式を用いて、左辺の底を $a$ に変換する。

$$\log_{\sqrt{a}} x = \frac{\log_a x}{\log_a \sqrt{a}} = \frac{\log_a x}{\frac{1}{2}} = 2 \log_a x = \log_a x^2$$

また、右辺は以下のように変形できる。

$$1 + \log_a y = \log_a a + \log_a y = \log_a (ay)$$

したがって、与式は次のように変形される。

$$\log_a x^2 = \log_a (ay)$$

真数を比較して、以下の関係式を得る。

$$x^2 = ay$$

$y$ について解くと、

$$y = \frac{x^2}{a}$$

となる。ここで、$a>0$ かつ $x>0$ であるから、$y>0$ となり、真数条件を満たしている。

(2)

(1) の結果より、$x - y$ を $x$ の関数として表す。

$$x - y = x - \frac{x^2}{a}$$

これを $f(x)$ とおき、平方完成する。

$$f(x) = -\frac{1}{a} x^2 + x = -\frac{1}{a} \left( x^2 - ax \right) = -\frac{1}{a} \left( x - \frac{a}{2} \right)^2 + \frac{a}{4}$$

$a$ は正の定数であるため、関数 $f(x)$ は上に凸の放物線を表し、頂点で最大となる。

真数条件より $x > 0$ であり、$x = \frac{a}{2} > 0$ であるため、定義域内に頂点を含む。

よって、$x = \frac{a}{2}$ のとき最大値 $\frac{a}{4}$ をとる。

このときの $y$ の値は、

$$y = \frac{1}{a} \left( \frac{a}{2} \right)^2 = \frac{1}{a} \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{a}{4}$$

となる。これも $y>0$ を満たす。

解説

対数の底を変換し、多項式の関係式に帰着させる典型的な問題である。

底を $\sqrt{a}$ から $a$ に変換する際、$\log_{\sqrt{a}} x = 2 \log_a x = \log_a x^2$ とする変形は頻出であるため、確実に押さえておきたい。

その後は単純な2次関数の最大値問題となる。最後に求めた $x, y$ の値が、前提となる真数条件（$x>0, y>0$）を満たしているかの確認を忘れないようにすることが重要である。

答え

(1)

$$y = \frac{x^2}{a}$$

(2) 最大値 $\frac{a}{4}$

$x = \frac{a}{2}$ , $y = \frac{a}{4}$