数学2 対数関数 問題 21 解説

方針・初手

対数方程式を解く問題。方程式を変形する前に、必ず対数の「底の条件」を確認する。その後、対数の定義に従って整方程式に帰着させ、得られた解が条件を満たすか（真数条件を含め）確認する。

解法1

対数の底の条件より、

$$x - 1 > 0 \quad \text{かつ} \quad x - 1 \neq 1$$

すなわち

$$x > 1 \quad \text{かつ} \quad x \neq 2 \quad \cdots \text{①}$$

与えられた方程式より、対数の定義から

$$x^3 - 2x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^3$$

右辺を展開すると、

$$x^3 - 2x^2 - 2x + 3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$$

両辺を整理して、

$$x^2 - 5x + 4 = 0$$

左辺を因数分解すると、

$$(x - 1)(x - 4) = 0$$

よって、$x = 1, 4$ を得る。

このうち、条件①を満たすのは $x = 4$ のみである。

なお、$x = 4$ のとき、真数の値は

$$4^3 - 2 \cdot 4^2 - 2 \cdot 4 + 3 = 64 - 32 - 8 + 3 = 27 > 0$$

となり、真数条件も満たしている。

解説

対数を含む方程式を解く際の鉄則として、最初から「底の条件」と「真数条件」を押さえることが重要である。

本問において真数条件 $x^3 - 2x^2 - 2x + 3 > 0$ を最初に解くのは3次不等式となりやや手間がかかる。しかし、方程式を $x^3 - 2x^2 - 2x + 3 = (x-1)^3$ と変形した時点で、底の条件 $x-1>0$ が成り立っていれば、右辺 $(x-1)^3$ は正となるため、左辺の真数も自動的に正となる。したがって、解を求めた後に底の条件と真数条件をチェックする方針をとるのが効率的である。

答え

$$x = 4$$