数学2 対数関数 問題 22 解説

方針・初手

底の変換公式を用いて、2つの対数の底を定数に統一する。真数が $\frac{1}{8}$ であることから、底を $2$ とするのが計算しやすい。その後、対数の性質を用いて式を整理し、真数部分に現れる2次関数の最大・最小問題に帰着させる。

解法1

与えられた関数を $f(x)$ とおく。

$$f(x) = \frac{1}{\log_x \frac{1}{8}} + \frac{1}{\log_{1-x} \frac{1}{8}}$$

対数の底の変換公式により、底を $2$ にそろえると

$$\log_x \frac{1}{8} = \frac{\log_2 \frac{1}{8}}{\log_2 x} = \frac{-3}{\log_2 x}$$

$$\log_{1-x} \frac{1}{8} = \frac{\log_2 \frac{1}{8}}{\log_2 (1-x)} = \frac{-3}{\log_2 (1-x)}$$

これらを $f(x)$ の式に代入して整理すると

$$\begin{aligned} f(x) &= \frac{1}{\frac{-3}{\log_2 x}} + \frac{1}{\frac{-3}{\log_2 (1-x)}} \\ &= -\frac{\log_2 x}{3} - \frac{\log_2 (1-x)}{3} \\ &= -\frac{1}{3} \{ \log_2 x + \log_2 (1-x) \} \\ &= -\frac{1}{3} \log_2 \{ x(1-x) \} \end{aligned}$$

となる。ここで、真数部分の関数を $g(x) = x(1-x)$ とおき、その値域を考える。 $0 < x < 1$ において、

$$g(x) = -x^2 + x = -\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4}$$

であるから、$g(x)$ は $x = \frac{1}{2}$ のとき、最大値 $\frac{1}{4}$ をとる。

対数関数 $y = \log_2 t$ は底が $2 > 1$ であるから単調増加関数である。したがって、$t = g(x)$ が最大となるとき、$\log_2 \{g(x)\}$ も最大となる。 $f(x)$ はこれに負の数 $-\frac{1}{3}$ が掛けられているため、$g(x)$ が最大となるとき、$f(x)$ は最小となる。

よって、$f(x)$ は $x = \frac{1}{2}$ のとき最小値をとる。 その最小値は、

$$\begin{aligned} f\left(\frac{1}{2}\right) &= -\frac{1}{3} \log_2 \frac{1}{4} \\ &= -\frac{1}{3} \log_2 2^{-2} \\ &= -\frac{1}{3} \times (-2) \\ &= \frac{2}{3} \end{aligned}$$

解説

対数の底に変数が含まれている場合、定数を底として底の変換公式を用いるのが定石の変形である。今回は真数が $\frac{1}{8} = 2^{-3}$ であるため、底を $2$ に変換すると式が簡明にまとまる。

また、$-\frac{1}{3} \log_2 \{x(1-x)\}$ の最大・最小を考える際、対数関数の単調性と、先頭に負号がついていることに注意して、真数部分の増減と全体の増減の関係を正確に把握することが重要である。

なお、問題文で与えられている $0 < x < 1$ という条件は、対数の底の条件（正かつ $1$ でない）と真数条件（正）をいずれも満たしており、分母が $0$ になることもないため、定義域についての追加の議論は不要である。

答え

$x = \frac{1}{2}$ のとき、最小値 $\frac{2}{3}$