数学2 対数関数 問題 23 解説

方針・初手

2つの式からなる連立指数方程式である。 底が $4$ と $5$ で異なっているが、両辺が単項式（積の形）であるため、両辺の常用対数をとることで $x, y$ に関する連立1次方程式に帰着させるのが基本的な解法である。 また、式をよく観察して指数法則を用い、一方の式から他方の式を割り算して工夫して解くこともできる。

解法1

与えられた連立方程式は以下の通りである。

$$\begin{cases} 5^{2x} \cdot 4^{y+1} = 25 \quad \cdots \text{(1)} \\ 4^x \cdot 5^{2y} = 1 \quad \cdots \text{(2)} \end{cases}$$

式 (1) の両辺を $25 = 5^2$ で割ると、

$$5^{2x-2} \cdot 4^{y+1} = 1 \quad \cdots \text{(1)'}$$

式 (1)' と式 (2) より、右辺がともに $1$ であるから、

$$5^{2x-2} \cdot 4^{y+1} = 4^x \cdot 5^{2y}$$

これを底が同じもの同士でまとめると、

$$5^{2x-2-2y} = 4^{x-y-1}$$

ここで、両辺の常用対数（底を $10$ とする対数）をとると、

$$(2x - 2y - 2) \log_{10} 5 = (x - y - 1) \log_{10} 4$$

$$2(x - y - 1) \log_{10} 5 - (x - y - 1) \log_{10} 4 = 0$$

$$(x - y - 1)(2\log_{10} 5 - \log_{10} 4) = 0$$

$2\log_{10} 5 - \log_{10} 4 = \log_{10} 25 - \log_{10} 4 = \log_{10} \frac{25}{4} \neq 0$ であるから、

$$x - y - 1 = 0$$

すなわち、

$$y = x - 1 \quad \cdots \text{(3)}$$

これを式 (2) に代入すると、

$$4^x \cdot 5^{2(x-1)} = 1$$

$$4^x \cdot \frac{5^{2x}}{25} = 1$$

両辺に $25$ を掛けて指数法則を用いると、

$$4^x \cdot 25^x = 25$$

$$(4 \cdot 25)^x = 25$$

$$100^x = 25$$

$$10^{2x} = 5^2$$

$10^x > 0$ より、

$$10^x = 5$$

これを対数の定義に従って変形すると、

$$x = \log_{10} 5$$

次に、式 (3) に $x = \log_{10} 5$ を代入すると、

$$y = \log_{10} 5 - 1$$

$$y = \log_{10} 5 - \log_{10} 10$$

$$y = \log_{10} \frac{5}{10}$$

$$y = \log_{10} \frac{1}{2}$$

$$y = \log_{10} 2^{-1}$$

$$y = -\log_{10} 2$$

よって、$x = \log_{10} 5$、$y = -\log_{10} 2$ である。

解法2

与えられた連立方程式の両辺について、常用対数をとる。

式 (1) について、

$$\log_{10} (5^{2x} \cdot 4^{y+1}) = \log_{10} 25$$

$$2x \log_{10} 5 + (y+1) \log_{10} 4 = 2\log_{10} 5 \quad \cdots \text{(4)}$$

式 (2) について、

$$\log_{10} (4^x \cdot 5^{2y}) = \log_{10} 1$$

$$x \log_{10} 4 + 2y \log_{10} 5 = 0 \quad \cdots \text{(5)}$$

ここで見やすくするため、$A = \log_{10} 5$、$B = \log_{10} 4$ とおく。 連立方程式は次のように表される。

$$\begin{cases} 2Ax + B(y+1) = 2A \quad \cdots \text{(4)'} \\ Bx + 2Ay = 0 \quad \cdots \text{(5)'} \end{cases}$$

式 (5)' より、

$$x = -\frac{2A}{B}y$$

これを式 (4)' に代入すると、

$$2A \left( -\frac{2A}{B}y \right) + By + B = 2A$$

両辺に $B$ を掛けて整理すると、

$$-4A^2 y + B^2 y + B^2 = 2AB$$

$$(B^2 - 4A^2) y = 2AB - B^2$$

$$(B - 2A)(B + 2A) y = -B(B - 2A)$$

$B - 2A = \log_{10} 4 - 2\log_{10} 5 = \log_{10} 4 - \log_{10} 25 \neq 0$ であるため、両辺を $B - 2A$ で割ると、

$$(B + 2A) y = -B$$

$A, B$ を元に戻すと、

$$(\log_{10} 4 + 2\log_{10} 5) y = -\log_{10} 4$$

$$(\log_{10} 4 + \log_{10} 25) y = -2\log_{10} 2$$

$$(\log_{10} 100) y = -2\log_{10} 2$$

$\log_{10} 100 = 2$ であるから、

$$2y = -2\log_{10} 2$$

$$y = -\log_{10} 2$$

これを $x = -\frac{2A}{B}y$ に代入すると、

$$x = -\frac{2\log_{10} 5}{\log_{10} 4} (-\log_{10} 2)$$

$$x = \frac{2\log_{10} 5}{2\log_{10} 2} \log_{10} 2$$

$$x = \log_{10} 5$$

よって、$x = \log_{10} 5$、$y = -\log_{10} 2$ である。

解説

指数方程式において、底が揃っていない場合は「両辺の対数をとる」という方針が非常に有効である。 今回、解の形に $\log_{10}$ と指定されているため、常用対数をとる方針が自然に導かれる。 解法1のように指数法則を巧みに用いて文字を消去していく方法は計算量が少なく済むが、式変形に気づきにくければ、解法2のように定石通り対数をとって連立1次方程式として解く方針でも確実に正答できる。対数の性質を用いた計算ミスには十分に注意したい。

答え

ア：$5$、イ：$2$