数学2 対数関数 問題 24 解説

方針・初手

対数の真数部分に $x$ が含まれるため、まずは真数条件を確認する。与えられた不等式は指数に対数が含まれる形をしているため、両辺が正であることを確認したうえで、底を $2$ とする対数をとって式を整理する。対数の底を揃えるために、底の変換公式を利用する。

解法1

対数の真数条件より

$$x > 0$$

与えられた不等式は

$$2^{x \log_{0.5} x} \geqq x^{-0.5}$$

$x > 0$ より両辺は正であるから、底を $2$ とする両辺の対数をとると

$$\log_2 \left( 2^{x \log_{0.5} x} \right) \geqq \log_2 \left( x^{-0.5} \right)$$

$$x \log_{0.5} x \geqq -0.5 \log_2 x$$

底の変換公式により $\log_{0.5} x = \frac{\log_2 x}{\log_2 0.5} = -\log_2 x$ であるから、不等式は次のように変形できる。

$$-x \log_2 x \geqq -0.5 \log_2 x$$

移項して整理すると

$$x \log_2 x - 0.5 \log_2 x \leqq 0$$

$$\left( x - \frac{1}{2} \right) \log_2 x \leqq 0$$

積が $0$ 以下になるのは、2つの因数が互いに異符号、または一方が $0$ となる場合である。したがって、次の (i) または (ii) が成り立つ。

(i) $x - \frac{1}{2} \geqq 0$ かつ $\log_2 x \leqq 0$ のとき

$$x \geqq \frac{1}{2} \quad \text{かつ} \quad x \leqq 1$$

真数条件 $x > 0$ を考慮すると、これを満たす $x$ の範囲は

$$\frac{1}{2} \leqq x \leqq 1$$

(ii) $x - \frac{1}{2} \leqq 0$ かつ $\log_2 x \geqq 0$ のとき

$$x \leqq \frac{1}{2} \quad \text{かつ} \quad x \geqq 1$$

これを満たす実数 $x$ は存在しない。

(i), (ii) より、求める $x$ の値の範囲は

$$\frac{1}{2} \leqq x \leqq 1$$

解説

指数部分に対数が含まれる方程式・不等式では、両辺の対数をとる操作が定石である。対数をとる際は、不等号の向きが変わるミスを防ぐため、特別な理由がない限り $1$ より大きい底（本問では $2$）を選ぶのが安全である。

また、対数の底に $0.5$ のような小数が含まれている場合は、底の変換公式を用いて底を $2$ などの素数に揃えることで、その後の計算が見通しやすくなる。最後に不等式を積の形 $(A B \leqq 0)$ に持ち込んで場合分けを行うのも、不等式処理における基本的な流れである。

答え

$$\frac{1}{2} \leqq x \leqq 1$$