数学2 対数関数 問題 26 解説

方針・初手

対数を含む方程式を解く問題である。まず最初に真数条件を確認する。 次に、方程式の右辺 $4^{\log_2 x}$ の処理が鍵となる。指数の底が $4$、対数の底が $2$ であることに着目し、指数の法則や対数の性質を用いて $x$ の多項式に帰着させる。

解法1

真数条件より、$x > 0$ である。

与えられた方程式の右辺を、指数の法則を用いて変形する。

$$4^{\log_2 x} = (2^2)^{\log_2 x}$$

$$= 2^{2\log_2 x}$$

$$= 2^{\log_2 x^2}$$

対数の定義から $2^{\log_2 M} = M$ が成り立つため、

$$2^{\log_2 x^2} = x^2$$

となる。したがって、与えられた方程式は次のように書き換えられる。

$$6x - 9 = x^2$$

$$x^2 - 6x + 9 = 0$$

$$(x - 3)^2 = 0$$

これを解いて、$x = 3$ を得る。

これは真数条件 $x > 0$ を満たしている。

解法2

真数条件より、$x > 0$ である。

方程式の右辺の値を $y$ とおく。

$$y = 4^{\log_2 x}$$

両辺は正であるから、底を $2$ とする対数をとる。

$$\log_2 y = \log_2 (4^{\log_2 x})$$

対数の性質より、右辺の指数部分は前に出せるので、

$$\log_2 y = (\log_2 x) \cdot \log_2 4$$

$$\log_2 y = (\log_2 x) \cdot 2$$

$$\log_2 y = 2\log_2 x$$

$$\log_2 y = \log_2 x^2$$

真数を比較して、

$$y = x^2$$

これを与えられた方程式に代入して、

$$6x - 9 = x^2$$

$$x^2 - 6x + 9 = 0$$

$$(x - 3)^2 = 0$$

これを解いて、$x = 3$ を得る。

これは真数条件 $x > 0$ を満たしている。

解法3

真数条件より、$x > 0$ である。

指数と対数に関する公式 $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$ を用いると、方程式の右辺は次のように変形できる。

$$4^{\log_2 x} = x^{\log_2 4}$$

$\log_2 4 = 2$ であるから、

$$4^{\log_2 x} = x^2$$

よって、与えられた方程式は次のように変形される。

$$6x - 9 = x^2$$

$$x^2 - 6x + 9 = 0$$

$$(x - 3)^2 = 0$$

これを解いて、$x = 3$ を得る。

これは真数条件 $x > 0$ を満たしている。

解説

指数部分に対数を含む式を簡略化する、典型的な方程式の問題である。 $a^{\log_a x} = x$ という基本性質を理解していれば、解法1のように底を揃える変形で容易に多項式へ帰着できる。解法2のように両辺の対数をとる手法も、指数関数の一般的な解法として応用範囲が広い。解法3で用いた公式 $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$ を知っていると計算量を大幅に減らすことができる。

また、対数方程式を解く上で最も重要なのは、式変形を始める前に「真数条件（および底の条件）」を明記し、確認することである。この問題では求まった解がそのまま条件を満たしたが、条件によって解が不適となる場合も多いため、最初に条件を押さえる手順を怠ってはならない。

答え

$x = 3$