トップ› 基礎問題› 数学2› 指数対数› 対数関数› 問題 27

数学2 対数関数問題 27 解説

方針・初手

与えられた方程式には対数と絶対値が含まれているため、まずは対数の真数条件を確認する。その後、底の変換公式を用いて対数の底を $2$ に統一し、対数をまとめる。対数を外すことで絶対値を含む代数方程式に帰着させる。最後に、絶対値記号の中の式の符号で場合分けを行い、方程式を解く。

解法1

まず、真数条件を確認する。すべての実数 $x$ に対して $|2-x| \ge 0$ および $|x| \ge 0$ であるから、

$$1+|2-x| \ge 1 > 0$$

$$1+|x| \ge 1 > 0$$

となり、真数は常に正である。よって、定義域は実数全体である。

次に、対数の底を $2$ に統一する。底の変換公式より、

$$\log_8 \frac{1}{1+|x|} = \frac{\log_2 (1+|x|)^{-1}}{\log_2 8} = \frac{-\log_2 (1+|x|)}{3}$$

これを元の方程式に代入すると、

$$\log_2 (1+|2-x|) - 3 \left\{ \frac{-\log_2 (1+|x|)}{3} \right\} = 2$$

$$\log_2 (1+|2-x|) + \log_2 (1+|x|) = 2$$

対数の性質を用いて左辺を一つにまとめると、

$$\log_2 \{ (1+|2-x|)(1+|x|) \} = 2$$

対数の定義より、

$$(1+|2-x|)(1+|x|) = 2^2$$

$$(1+|2-x|)(1+|x|) = 4$$

ここから、絶対値を外すために $x$ の値で場合分けを行う。絶対値の中身が $0$ になるのは $x=0$ と $x=2$ のときである。

(i) $x < 0$ のとき

$|x| = -x$、 $|2-x| = 2-x$ であるから、方程式は次のようになる。

$$(1+2-x)(1-x) = 4$$

$$(3-x)(1-x) = 4$$

$$x^2 - 4x + 3 = 4$$

$$x^2 - 4x - 1 = 0$$

これを解いて、

$$x = 2 \pm \sqrt{5}$$

$2 < \sqrt{5} < 3$ より、$2 - \sqrt{5} < 0$、$2 + \sqrt{5} > 0$ である。 $x < 0$ を満たすのは $x = 2 - \sqrt{5}$ のみである。

(ii) $0 \leqq x < 2$ のとき

$|x| = x$、 $|2-x| = 2-x$ であるから、方程式は次のようになる。

$$(1+2-x)(1+x) = 4$$

$$(3-x)(1+x) = 4$$

$$-x^2 + 2x + 3 = 4$$

$$x^2 - 2x + 1 = 0$$

$$(x-1)^2 = 0$$

$$x = 1$$

これは $0 \leqq x < 2$ を満たす。

(iii) $x \geqq 2$ のとき

$|x| = x$、 $|2-x| = -(2-x) = x-2$ であるから、方程式は次のようになる。

$$(1+x-2)(1+x) = 4$$

$$(x-1)(x+1) = 4$$

$$x^2 - 1 = 4$$

$$x^2 = 5$$

$$x = \pm \sqrt{5}$$

$x \geqq 2$ を満たすのは $x = \sqrt{5}$ のみである。

以上 (i)、(ii)、(iii) より、求める実数 $x$ は $x = 2 - \sqrt{5}, 1, \sqrt{5}$ である。

解説

対数方程式と絶対値を含む方程式の複合問題である。最初に行うべきことは真数条件の確認であるが、本問では絶対値の性質から常に真数が正となるため、特別な制限は生じない。底の異なる対数が含まれているため、底の変換公式を用いて底を統一することが基本的な方針となる。底が $2$ と $8$ の関係であるため、$8 = 2^3$ を利用して底を $2$ にそろえると計算が見通しやすくなる。対数を外した後は、絶対値の中身の符号で場合分けを行う定石に従う。場合分けの各区間で得られた解が、その区間の条件を満たしているかどうかの確認（解の吟味）を忘れないようにすることが重要である。