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数学2 対数関数問題 28 解説

方針・初手

(1)は $x, y$ が自然数であるという条件を利用し、値域の狭い式から値を絞り込む。 (2)は(1)で求めた解が唯一であることを示す。方程式を $y = f(x)$ と $y = g(x)$ の形に変形し、2つの関数の単調性（一方が単調増加、他方が単調減少）に着目して交点が1つしかないことを論証する。

解法1

(1)

与えられた連立方程式は以下の通りである。

$$\begin{cases} 2^x + 3^y = 43 & \cdots \text{①} \\ \log_2 x - \log_3 y = 1 & \cdots \text{②} \end{cases}$$

$x, y$ は自然数（すなわち $1$ 以上の整数）である。 ①より、$3^y = 43 - 2^x$ であり、$3^y > 0$ であるから、

$$43 - 2^x > 0 \iff 2^x < 43$$

これを満たす自然数 $x$ は、$x = 1, 2, 3, 4, 5$ に限られる。それぞれの場合について $y$ が自然数となるか調べる。

$x = 1$ のとき、$3^y = 43 - 2 = 41$ となり、$y$ は自然数とならない。
$x = 2$ のとき、$3^y = 43 - 4 = 39$ となり、$y$ は自然数とならない。
$x = 3$ のとき、$3^y = 43 - 8 = 35$ となり、$y$ は自然数とならない。
$x = 4$ のとき、$3^y = 43 - 16 = 27 = 3^3$ となり、$y = 3$（自然数）となる。
$x = 5$ のとき、$3^y = 43 - 32 = 11$ となり、$y$ は自然数とならない。

したがって、①を満たす自然数の組は $(x, y) = (4, 3)$ のみである。この組が②を満たすか確認する。

$$\log_2 4 - \log_3 3 = 2 - 1 = 1$$

となり、確かに②を満たす。以上より、求める自然数 $x, y$ の組は $x = 4, y = 3$ である。

(2)

$x, y$ を正の実数とする。 ①より、$3^y = 43 - 2^x$ であり、両辺の底が $3$ の対数をとると、

$$y = \log_3 (43 - 2^x) \quad \cdots \text{③}$$

ここで、真数条件から $43 - 2^x > 0$ より $0 < x < \log_2 43$ である。この区間において、$x$ の値が増加すると $2^x$ は増加するため、$43 - 2^x$ は減少する。対数関数 $y = \log_3 t$ は底が $3 > 1$ であるから単調増加関数である。ゆえに、$t = 43 - 2^x$ が減少すると $y$ も減少する。すなわち、関数 $f(x) = \log_3 (43 - 2^x)$ は区間 $0 < x < \log_2 43$ において単調減少関数である。

一方、②について、真数条件から $x > 0, y > 0$ であり、

$$\log_3 y = \log_2 x - 1$$

$$y = 3^{\log_2 x - 1} \quad \cdots \text{④}$$

$x > 0$ において、$x$ の値が増加すると $\log_2 x$ は増加するため、$\log_2 x - 1$ も増加する。指数関数 $y = 3^s$ は底が $3 > 1$ であるから単調増加関数である。ゆえに、$s = \log_2 x - 1$ が増加すると $y$ も増加する。すなわち、関数 $g(x) = 3^{\log_2 x - 1}$ は区間 $x > 0$ において単調増加関数である。

③および④より、連立方程式を満たす正の実数 $x$ は方程式 $f(x) = g(x)$ を満たさなければならない。共通の定義域 $0 < x < \log_2 43$ において、$f(x)$ は単調減少、$g(x)$ は単調増加であるから、$y=f(x)$ のグラフと $y=g(x)$ のグラフの交点は高々1個であり、方程式 $f(x) = g(x)$ の実数解は高々1個である。

(1)の考察より、$(x, y) = (4, 3)$ は連立方程式を満たすため、$x = 4$ は $f(x) = g(x)$ の解である。解は高々1個であるから、$x = 4$ が唯一の実数解であり、対応する $y$ の値も $y = 3$ に限られる。

したがって、連立方程式を満たす正の実数 $x, y$ の組は $(4, 3)$ のみであり、(1)で求めた自然数の組以外に存在しないことが示された。

解説

(1)は「整数問題は範囲を絞る」という定石通りに進める。指数関数が含まれる方程式では、値の増加が極めて速いため、上界（今回であれば $2^x < 43$）を見つけることで候補を容易に絞り込むことができる。 (2)は「方程式の実数解の個数はグラフの交点の個数で評価する」という考え方を用いる。片方の関数が単調増加、もう片方が単調減少であることを示せば、交点が1つしかない（解が唯一である）ことを簡潔に論証できる。微分を用いずに指数・対数関数の性質から単調性を説明できる点がポイントである。