数学2 対数関数 問題 31 解説

方針・初手

与えられている条件の対数が底を $10$ としているため、底の変換公式を用いて求める式の底を $10$ にそろえる。その後、真数を素因数分解し、$\log_{10} 2$、$\log_{10} 3$、および $\log_{10} 10 = 1$ を用いて表す。

解法1

底の変換公式より、求める式を変形する。

$$\log_{15} \sqrt[3]{60} = \frac{\log_{10} \sqrt[3]{60}}{\log_{10} 15}$$

分子について、真数を分解すると以下のようになる。

$$\begin{aligned} \log_{10} \sqrt[3]{60} &= \log_{10} 60^{\frac{1}{3}} \\ &= \frac{1}{3} \log_{10} (6 \cdot 10) \\ &= \frac{1}{3} \log_{10} (2 \cdot 3 \cdot 10) \\ &= \frac{1}{3} (\log_{10} 2 + \log_{10} 3 + \log_{10} 10) \\ &= \frac{1}{3} (a + b + 1) \end{aligned}$$

分母について、$5 = \frac{10}{2}$ であることを利用して変形する。

$$\begin{aligned} \log_{10} 15 &= \log_{10} (3 \cdot 5) \\ &= \log_{10} \left( 3 \cdot \frac{10}{2} \right) \\ &= \log_{10} 3 + \log_{10} 10 - \log_{10} 2 \\ &= b + 1 - a \end{aligned}$$

以上より、これらを代入して整理する。

$$\begin{aligned} \log_{15} \sqrt[3]{60} &= \frac{\frac{1}{3}(a + b + 1)}{-a + b + 1} \\ &= \frac{a + b + 1}{3(-a + b + 1)} \end{aligned}$$

解説

底が異なる対数の値を文字で表す問題の基本は、底の変換公式を用いて「条件として与えられている対数の底」に統一することである。

また、底が $10$ の対数（常用対数）において、真数に $5$ が含まれる場合の処理は頻出である。$\log_{10} 5$ はそのままでは $a, b$ で表せないため、$5 = \frac{10}{2}$ と変形し、$\log_{10} 5 = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - a$ として処理する手法は必ず押さえておきたい。

答え

$$\frac{a + b + 1}{3(-a + b + 1)}$$