数学2 対数関数 問題 32 解説

方針・初手

与えられた連立方程式 $2^x = 3^y = 7$ から、$x, y$ を対数を用いて表し、求める式に代入して計算する方針と、与式を $2 = 7^{\frac{1}{x}}, 3 = 7^{\frac{1}{y}}$ のように変形して指数法則を用いる方針が考えられる。求める式の値が $\log_7$ の形で与えられているため、底を $7$ に統一することを意識する。

解法1

$2^x = 3^y = 7$ より、対数の定義から

$$x = \log_2 7, \quad y = \log_3 7$$

である。

求める式に代入し、底の変換公式を用いると

$$\frac{1}{x} = \frac{1}{\log_2 7} = \log_7 2$$

$$\frac{1}{y} = \frac{1}{\log_3 7} = \log_7 3$$

となる。

したがって、求める値は対数の性質より

$$\begin{aligned} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} &= \log_7 2 + \log_7 3 \\ &= \log_7 (2 \times 3) \\ &= \log_7 6 \end{aligned}$$

となる。

解法2

$2^x = 7$ について、$7 > 1$ より $x \neq 0$ であるから、両辺を $\frac{1}{x}$ 乗すると

$$2 = 7^{\frac{1}{x}}$$

となる。

同様に $3^y = 7$ から

$$3 = 7^{\frac{1}{y}}$$

となる。

この2式の辺々を掛け合わせると、指数法則より

$$\begin{aligned} 2 \times 3 &= 7^{\frac{1}{x}} \times 7^{\frac{1}{y}} \\ 6 &= 7^{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \end{aligned}$$

となる。

これを対数の定義を用いて変形すると

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \log_7 6$$

となる。

解説

対数の定義と底の変換公式、あるいは指数法則の活用を問う基本的な計算問題である。

解法1は、$x, y$ を直接求めてから代入する自然な発想である。その際、分母に対数が現れるため、底の変換公式 $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ を用いて底を $7$ に揃えることがポイントとなる。

解法2は、求める式の形が $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ であることに着目し、これを指数の足し算として作り出すことで計算をショートカットする手法である。記述量が少なく見通しが良いため、このような対称的な式の値を求める際によく用いられる定石である。

答え

$6$