数学2 対数関数 問題 33 解説

方針・初手

与えられた等式 $2^x = 3^y = 24^z = \sqrt[4]{6}$ から、$\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ の形を作り出すことが目標となる。 方針としては、各辺の対数をとって $x, y, z$ について解き、逆数を計算する方法（解法1）と、各辺を $\frac{1}{x}$ 乗などして指数法則を利用し、掛け算や割り算で式の形を構築する方法（解法2）の2つが考えられる。

解法1

$2^x = 3^y = 24^z = \sqrt[4]{6}$ の各辺において、底を $6$ とする対数をとる。

$$\log_6 2^x = \log_6 6^{\frac{1}{4}}$$

より、

$$x \log_6 2 = \frac{1}{4}$$

$$\frac{1}{x} = 4 \log_6 2$$

同様にして、$3^y = 6^{\frac{1}{4}}$、$24^z = 6^{\frac{1}{4}}$ についても底を $6$ とした対数をとると、

$$\frac{1}{y} = 4 \log_6 3$$

$$\frac{1}{z} = 4 \log_6 24$$

が得られる。

これらを用いて、与式を計算する。 まず、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ は、

$$\begin{aligned} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} &= 4 \log_6 2 + 4 \log_6 3 \\ &= 4 (\log_6 2 + \log_6 3) \\ &= 4 \log_6 (2 \times 3) \\ &= 4 \log_6 6 \\ &= 4 \end{aligned}$$

次に、$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} - \frac{1}{z}$ は、

$$\begin{aligned} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} - \frac{1}{z} &= 4 \log_6 2 - 4 \log_6 3 - 4 \log_6 24 \\ &= 4 (\log_6 2 - \log_6 3 - \log_6 24) \\ &= 4 \log_6 \left( \frac{2}{3 \times 24} \right) \\ &= 4 \log_6 \left( \frac{1}{36} \right) \\ &= 4 \log_6 6^{-2} \\ &= 4 \times (-2) \\ &= -8 \end{aligned}$$

解法2

$2^x = 6^{\frac{1}{4}}$ より、両辺を $\frac{1}{x}$ 乗すると、

$$2 = 6^{\frac{1}{4x}}$$

同様に、$3^y = 6^{\frac{1}{4}}$、$24^z = 6^{\frac{1}{4}}$ の両辺をそれぞれ $\frac{1}{y}$ 乗、$\frac{1}{z}$ 乗すると、

$$3 = 6^{\frac{1}{4y}}$$

$$24 = 6^{\frac{1}{4z}}$$

となる。

ここで、$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ の形を作るために、$6^{\frac{1}{4x}} \times 6^{\frac{1}{4y}}$ を計算する。

$$\begin{aligned} 6^{\frac{1}{4x}} \times 6^{\frac{1}{4y}} &= 2 \times 3 \\ 6^{\frac{1}{4} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right)} &= 6^1 \end{aligned}$$

底が $6$ で等しいので、指数を比較して、

$$\frac{1}{4} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1$$

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 4$$

次に、$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} - \frac{1}{z}$ の形を作るために、$\frac{6^{\frac{1}{4x}}}{6^{\frac{1}{4y}} \times 6^{\frac{1}{4z}}}$ を計算する。

$$\begin{aligned} \frac{6^{\frac{1}{4x}}}{6^{\frac{1}{4y}} \times 6^{\frac{1}{4z}}} &= \frac{2}{3 \times 24} \\ 6^{\frac{1}{4x} - \frac{1}{4y} - \frac{1}{4z}} &= \frac{1}{36} \\ 6^{\frac{1}{4} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} - \frac{1}{z} \right)} &= 6^{-2} \end{aligned}$$

同様に指数を比較して、

$$\frac{1}{4} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{y} - \frac{1}{z} \right) = -2$$

$$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} - \frac{1}{z} = -8$$

解説

複数の文字が含まれる連立された指数方程式において、逆数 $\frac{1}{x}$ などの値が問われている場合の典型的な問題である。 解法1のように対数をとってから計算を進めるか、解法2のように指数法則を直接用いて式の形を構築するか、どちらの処理も重要である。 対数を用いる場合、底を何にそろえるかが計算量に影響する。本問では右辺が $\sqrt[4]{6}$ であること、そして現れる数が $2, 3, 24$ など $6$ に関連づけやすいことから、底を $6$ と設定すると見通しよく計算を進められる。

答え

ア：$4$

イ：$-8$